L'inverse d'un nombre

En une phrase

L'inverse d'une fraction, c'est la même fraction retournée : on échange le haut et le bas. L'inverse de 3/5 est 5/3. L'inverse d'un nombre entier a est 1/a : l'inverse de 4 est 1/4. Ce qui est spécial : un nombre multiplié par son inverse fait toujours 1. Par exemple (3/5) × (5/3) = 1. Seul 0 n'a pas d'inverse.

Comprendre

L'inverse d'un nombre est le nombre par lequel il faut le multiplier pour obtenir 1. Pour une fraction a/b non nulle, l'inverse est b/a : on échange le numérateur et le dénominateur (la fraction « se retourne »). Ainsi l'inverse de 3/5 est 5/3. Pour un nombre entier a, on l'écrit a/1, donc son inverse est 1/a : l'inverse de 4 est 1/4. La propriété centrale est : nombre × inverse = 1. Vérifions avec 3/5 : (3/5) × (5/3) = (3 × 5)/(5 × 3) = 15/15 = 1. C'est vrai pour tout nombre non nul. Attention : l'inverse n'est pas l'opposé.

L'opposé de 3/5 est −3/5 (on change le signe), alors que l'inverse est 5/3 (on retourne la fraction). Un nombre négatif a un inverse négatif : l'inverse de −2/3 est −3/2, car (−2/3) × (−3/2) = (6/6) = 1. Enfin, 0 n'a pas d'inverse : aucun nombre multiplié par 0 ne peut donner 1. L'inverse est l'outil clé de la division de fractions : diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse.

Le cours

L'inverse d'un nombre non nul est le nombre par lequel il faut le multiplier pour obtenir 1. Pour une fraction a/b (avec a et b non nuls), l'inverse est b/a : on échange numérateur et dénominateur. Par exemple, l'inverse de 3/5 est 5/3. Un nombre entier a s'écrit a/1, donc son inverse est 1/a ; ainsi l'inverse de 4 est 1/4. NOTATION : l'inverse d'un nombre non nul x se note 1/x, ou x⁻¹ ; on écrit donc (3/5)⁻¹ = 5/3 et 4⁻¹ = 1/4. La propriété fondamentale est : pour tout nombre non nul, le produit du nombre par son inverse vaut 1. Vérification : (3/5) × (5/3) = (3 × 5)/(5 × 3) = 15/15 = 1. Il ne faut pas confondre inverse et opposé : l'opposé de 3/5 est −3/5 (changement de signe, il sert pour l'addition), tandis que l'inverse est 5/3 (retournement, il sert pour la multiplication et la division). Le signe est conservé par l'inversion : l'inverse d'un nombre négatif est négatif, par exemple l'inverse de −2/3 est −3/2. Le nombre 0 est le seul à ne pas avoir d'inverse, car aucun produit par 0 ne peut valoir 1. Cette notion prépare directement la division par une fraction, qui consiste à multiplier par l'inverse du diviseur.

Les erreurs fréquentes

On confond inverse et opposé : on donne −3/5 comme inverse de 3/5.

L'opposé change le signe (−3/5), l'inverse retourne la fraction : l'inverse de 3/5 est 5/3.

On cherche l'inverse de 0.

0 n'a pas d'inverse : aucun nombre multiplié par 0 ne peut donner 1.

Tu maîtrises la notion si…

• Donner l'inverse d'une fraction en échangeant numérateur et dénominateur (inverse de 3/5 = 5/3).
• Donner l'inverse d'un entier a sous la forme 1/a (inverse de 4 = 1/4).
• Vérifier que le produit d'un nombre par son inverse vaut 1, comme (3/5) × (5/3) = 1.

Vérifie que tu as compris

1. Quel est l'inverse de 3/5 ?

   Réponse 5/3

   L'inverse d'une fraction s'obtient en échangeant numérateur et dénominateur : l'inverse de 3/5 est 5/3 (et 3/5 × 5/3 = 1).

2. Combien font (3/5) × (5/3) ?

   Réponse 1

   Un nombre multiplié par son inverse donne 1 : (3 × 5)/(5 × 3) = 15/15 = 1.

3. Quel nombre n'a pas d'inverse ?

   Réponse 0

   L'inverse d'un nombre a est 1/a, or on ne peut pas diviser par 0 : le nombre 0 n'a pas d'inverse. En revanche 1 est son propre inverse, l'inverse de −1 est −1, et l'inverse de 1/2 est 2.