Calculer une expression avec des fractions

En une phrase

Dans un calcul de fractions qui enchaîne des × et des ÷, tu transformes chaque division en multiplication par l'inverse, tu multiplies en ligne, tu gères le signe, puis tu simplifies. Par exemple (−2/3) × (9/4) = −18/12 = −3/2.

Comprendre

Une expression avec des fractions se calcule en combinant tout ce que tu sais : la règle du produit, l'inverse pour les divisions, la règle des signes et la simplification. Les multiplications et divisions ont la même priorité : on avance de gauche à droite, en transformant chaque ÷ en × par l'inverse. À la fin, on donne le résultat irréductible.

Exemple 1 : (−2/3) × (9/4). Les signes sont différents, donc le résultat est négatif ; on calcule (2 × 9)/(3 × 4) = 18/12, que l'on simplifie par 6 en 3/2. Le résultat est −3/2. Exemple 2 : (5/6) ÷ (10/3). On transforme la division en multiplication par l'inverse : (5/6) × (3/10) = 15/60, que l'on simplifie par 15 en 1/4. Astuce : simplifier AVANT de multiplier évite de grands nombres, mais simplifier à la fin fonctionne aussi.

Il faut soigner deux points à la fois : le signe (règle des signes des relatifs) et la simplification (forme irréductible attendue). Ces calculs apparaissent dans de nombreuses situations : proportions, agrandissements/réductions, vitesses, ou fractions d'une quantité.

Le cours

Calculer une expression avec des fractions demande de combiner plusieurs savoir-faire : multiplier des fractions, utiliser l'inverse pour diviser, appliquer la règle des signes et simplifier. Les multiplications et les divisions ont la même priorité et se traitent de gauche à droite ; chaque division est transformée en multiplication par l'inverse du diviseur. On détermine le signe du résultat par la règle des signes (produit ou quotient de fractions de signes différents : résultat négatif), et on donne la réponse sous forme irréductible.

Exemple : (−2/3) × (9/4) : signes différents, donc résultat négatif ; (2 × 9)/(3 × 4) = 18/12 = 3/2 (simplification par 6), d'où −3/2. Autre exemple : (5/6) ÷ (10/3) = (5/6) × (3/10) = 15/60 = 1/4 (simplification par 15). Il est souvent judicieux de simplifier avant de multiplier pour manipuler de plus petits nombres, mais on peut aussi simplifier le résultat final. EXEMPLE À DEUX OPÉRATIONS.

Dans (2/3) ÷ (4/9) × (1/2), les × et ÷ ont la même priorité : on va de gauche à droite. D'abord (2/3) ÷ (4/9) = (2/3) × (9/4) = 18/12 = 3/2 ; puis (3/2) × (1/2) = 3/4. PRIORITÉ. Comme avec les entiers, les × et les ÷ passent AVANT les + et les − : dans 2/3 − 1/3 × 4/5, on calcule d'abord (1/3) × (4/5) = 4/15, puis 2/3 − 4/15 = 10/15 − 4/15 = 6/15 = 2/5. Les parenthèses, elles, passent avant tout.

Ces expressions modélisent des situations concrètes : calculer une fraction d'une fraction (les deux tiers des trois quarts d'une quantité), un agrandissement, une vitesse ou une proportion. La maîtrise de ces calculs, en combinant priorités, signes et simplification, est un objectif central du travail sur les nombres rationnels en 4e.

Les erreurs fréquentes

On oublie de simplifier le résultat : on laisse (−2/3) × (9/4) = −18/12 comme réponse finale.

On donne la forme irréductible : −18/12 = −3/2 (simplification par 6).

On oublie de transformer la division en multiplication par l'inverse dans une expression.

Chaque ÷ devient × par l'inverse : (5/6) ÷ (10/3) = (5/6) × (3/10) = 15/60 = 1/4.

Tu maîtrises la notion si…

• Enchaîner × et ÷ de fractions de gauche à droite en transformant les divisions en produits par l'inverse.
• Appliquer la règle des signes, comme dans (−2/3) × (9/4) = −3/2.
• Donner systématiquement le résultat sous forme irréductible (ex. (5/6) ÷ (10/3) = 1/4).

Vérifie que tu as compris

1. Combien font (−2/3) × (9/4), simplifié au maximum ?

   Réponse −3/2

   Signes différents → négatif ; (2 × 9)/(3 × 4) = 18/12 = 3/2 (÷6), d'où −3/2.

2. Combien font (5/6) ÷ (10/3), simplifié au maximum ?

   Réponse 1/4

   (5/6) ÷ (10/3) = (5/6) × (3/10) = 15/60 ; on simplifie par 15 : 15 ÷ 15 = 1 et 60 ÷ 15 = 4, d'où 1/4.

3. Dans (2/3) ÷ (4/9) × (1/2), quelle est la première étape ?

   Réponse retourner le diviseur 4/9 en 9/4

   × et ÷ ont la même priorité : on va de gauche à droite en transformant la division en multiplication par l'inverse. (2/3) ÷ (4/9) = (2/3) × (9/4) = 18/12 = 3/2, puis (3/2) × (1/2) = 3/4.