Diviser par une fraction

En une phrase

Pour diviser par une fraction, tu la retournes et tu multiplies. Par exemple (2/3) ÷ (4/5) : tu remplaces ÷ (4/5) par × (5/4), ce qui donne (2/3) × (5/4) = 10/12 = 5/6. Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.

Comprendre

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. Autrement dit, (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) : on garde la première fraction, on remplace le signe ÷ par ×, et on retourne la seconde fraction (celle qui divise). Ensuite, on applique la règle du produit (numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux) et on simplifie.

Exemple : (2/3) ÷ (4/5). L'inverse de 4/5 est 5/4, donc (2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = (2 × 5)/(3 × 4) = 10/12, que l'on simplifie par 2 en 5/6. Pourquoi cette règle ? Parce que diviser par un nombre, c'est chercher combien de fois il « tient » dans l'autre, et multiplier par l'inverse redonne exactement ce résultat.

La règle des signes s'applique aussi : si les deux fractions sont de signes différents, le quotient est négatif. Attention à ne retourner QUE la deuxième fraction (le diviseur), jamais la première. On peut aussi simplifier avant de multiplier une fois la division transformée en produit.

Le cours

Pour diviser par une fraction non nulle, on multiplie par son inverse : (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c). Concrètement, on conserve la première fraction, on change le signe de division en signe de multiplication, et on remplace la seconde fraction par son inverse. On applique alors la règle du produit puis on simplifie le résultat.

Exemple : (2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = (2 × 5)/(3 × 4) = 10/12 = 5/6 (après simplification par 2). Cette règle découle de la définition de l'inverse : diviser par 4/5 revient à multiplier par 5/4, car (4/5) × (5/4) = 1. La règle des signes des relatifs est conservée : deux fractions de même signe donnent un quotient positif, deux fractions de signes différents un quotient négatif. Il faut retourner uniquement le diviseur (la deuxième fraction) et surtout pas la première : (2/3) ÷ (4/5) ne devient pas (3/2) × (4/5).

Lorsqu'un entier divise ou est divisé, on l'écrit sur 1 : par exemple (2/3) ÷ 4 = (2/3) × (1/4) = 2/12 = 1/6. Maîtriser la division par une fraction permet d'aborder les expressions combinant produits et quotients.

Les erreurs fréquentes

On retourne la première fraction au lieu de la seconde : (2/3) ÷ (4/5) = (3/2) × (4/5).

On garde la première et on retourne le diviseur : (2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = 5/6.

On divise numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux : (2/3) ÷ (4/5) = (2 ÷ 4)/(3 ÷ 5).

La division de fractions passe par l'inverse : (2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = 10/12 = 5/6.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
• Transformer (2/3) ÷ (4/5) en (2/3) × (5/4) puis calculer 5/6.
• Retourner uniquement le diviseur (la deuxième fraction), jamais la première.

Vérifie que tu as compris

1. Diviser par 4/5 revient à multiplier par…

   Réponse 5/4

   Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : l'inverse de 4/5 est 5/4.

2. Combien font (2/3) ÷ (4/5), simplifié au maximum ?

   Réponse 5/6

   (2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = 10/12 ; on simplifie par 2 : 10 ÷ 2 = 5 et 12 ÷ 2 = 6, d'où 5/6.

3. Transformée en multiplication, la division (7/8) ÷ (3/5) devient :

   Réponse (7/8) × (5/3)

   Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse, et on retourne uniquement le diviseur : (7/8) ÷ (3/5) = (7/8) × (5/3) = 35/24. Retourner la première fraction est l'erreur la plus fréquente.