Résoudre x − b = c

En une phrase

Quand une équation s'écrit x − b = c, on a enlevé b à x. Pour retrouver x tout seul, tu remets b, c'est-à-dire tu ajoutes b des deux côtés. Par exemple, x − 4 = 6 devient x = 6 + 4 = 10.

Comprendre

Une équation comme x − 4 = 6 se lit : « un nombre auquel on retire 4 donne 6 ». Pour retrouver ce nombre, on veut ISOLER x. Cette fois, x est diminué de 4 ; pour l'en débarrasser, on fait l'opération INVERSE de la soustraction, c'est-à-dire l'addition : on ajoute 4 des DEUX côtés.

À gauche, x − 4 + 4 laisse x ; à droite, 6 + 4 = 10. On obtient x = 10. C'est l'idée essentielle : chaque opération se défait par son inverse. La soustraction (− 4) se défait par l'addition (+ 4), comme l'addition se défaisait par la soustraction dans x + b = c. On garde toujours l'équilibre en agissant des deux côtés à la fois.

On vérifie en remplaçant : 10 − 4 = 6, c'est vrai, donc 10 est la solution. L'erreur fréquente est de retrancher b encore une fois (x = 6 − 4 = 2) : on aggrave le retrait au lieu de le défaire, et la vérification échoue (2 − 4 ne donne pas 6). Pour x − b = c, on retient donc x = c + b : on AJOUTE ce qui avait été retiré.

Le cours

Résoudre x − b = c, c'est trouver le nombre dont on a retiré b pour obtenir c. Puisque l'inconnue est diminuée de b, on utilise l'opération inverse de la soustraction, l'addition : on ajoute b des deux côtés de l'égalité, ce qui préserve l'équilibre. À gauche, x − b + b se réduit à x ; à droite, il reste c + b.

On conclut x = c + b. Exemple : pour x − 4 = 6, on ajoute 4 à chaque membre, d'où x = 6 + 4 = 10. On vérifie en remplaçant x par 10 : 10 − 4 = 6, l'égalité est vraie. Ce principe des opérations inverses est central : une addition se défait par une soustraction, une soustraction par une addition, une multiplication par une division, une division par une multiplication.

Choisir la bonne opération inverse, et l'appliquer des deux côtés, permet d'isoler l'inconnue dans toutes les équations à une opération. L'erreur classique consiste à retrancher b de nouveau (x = 6 − 4 = 2) : la vérification la met en évidence, car 2 − 4 ne vaut pas 6. Remarque de programme : le programme de Cinquième cite les équations du type ax = c et x + b = c ; l'équation x − b = c en est un PROLONGEMENT naturel — c'est l'« opération à trou » 6 = x − 4, et elle revient d'ailleurs à x + (−4) = 6.

Les erreurs fréquentes

Retrancher b de nouveau au lieu de l'ajouter : pour x − 4 = 6, écrire x = 6 − 4 = 2.

Une soustraction se défait par une addition : on ajoute 4, x = 6 + 4 = 10. Vérification : 10 − 4 = 6 (alors que 2 − 4 = −2).

Croire que le signe − devant 4 impose de garder une soustraction dans la solution.

On applique l'opération inverse : pour défaire − 4, on ajoute 4 des deux côtés, ce qui donne x = c + b = 10.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que, pour x − b = c, on ajoute b des deux côtés pour isoler x (opération inverse).
• Résoudre x − 4 = 6 en écrivant x = 6 + 4 = 10.
• Vérifier la solution en la remplaçant : 10 − 4 = 6.

Vérifie que tu as compris

1. Quelle est la solution de l'équation x − 4 = 6 ?

   Réponse 10

   On ajoute 4 des deux côtés : x = 6 + 4 = 10. Vérification : 10 − 4 = 6.

2. Pour résoudre x − 7 = 5, que fait-on des deux côtés de l'équation ?

   Réponse On ajoute 7

   L'addition défait la soustraction : on ajoute 7 des deux côtés, donc x = 5 + 7 = 12.

3. Un nombre diminué de 9 donne 14. Quel est ce nombre ?

   Réponse 23

   L'énoncé se traduit par x − 9 = 14. On ajoute 9 des deux côtés : x = 14 + 9 = 23. Vérification : 23 − 9 = 14. Retrancher encore 9 (14 − 9 = 5) est l'erreur classique : une soustraction se défait par une addition.