Résoudre x + b = c

En une phrase

Quand une équation s'écrit x + b = c, tu veux laisser x tout seul. Pour cela, tu enlèves b des deux côtés en même temps, comme sur une balance : x reste à gauche, et à droite il te reste c − b. Par exemple, x + 5 = 12 devient x = 12 − 5 = 7.

Comprendre

Une équation comme x + 5 = 12 se lit : « un nombre auquel on ajoute 5 donne 12 ». Pour trouver ce nombre, on veut ISOLER x, c'est-à-dire le laisser seul d'un côté du signe =. L'idée-clé est l'ÉQUILIBRE : une équation est comme une balance en équilibre, les deux plateaux ont le même poids.

Si on retire la même chose des deux plateaux, la balance reste équilibrée. Ici, x est accompagné de + 5 ; pour l'en débarrasser, on retranche 5 des DEUX côtés : à gauche, x + 5 − 5 ne laisse que x ; à droite, 12 − 5 = 7. On obtient donc x = 7. Retrancher 5 est l'opération INVERSE d'ajouter 5 : c'est elle qui « défait » le + 5. On peut toujours vérifier : on remplace x par 7 dans l'équation de départ, 7 + 5 = 12, c'est vrai, donc 7 est bien la solution. Ce qu'il faut retenir : pour x + b = c, on écrit directement x = c − b, à condition de bien retrancher b des deux côtés.

L'erreur classique est d'ajouter b au lieu de le retrancher (x = 12 + 5 = 17) : on obtiendrait un nombre trop grand, et la vérification échouerait (17 + 5 = 22 ≠ 12).

Le cours

Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue sans procéder par essais. Pour une équation du type x + b = c, la méthode repose sur l'équilibre de l'égalité : on peut effectuer la même opération sur les deux membres sans changer les solutions, exactement comme on retire le même poids des deux plateaux d'une balance sans rompre l'équilibre. Comme x est augmenté de b, on retranche b des deux côtés.

À gauche, x + b − b se réduit à x ; à droite, il reste c − b. On conclut x = c − b. Exemple : pour x + 5 = 12, on retranche 5 de chaque côté et on obtient x = 12 − 5 = 7. On vérifie systématiquement en remplaçant x par sa valeur dans l'équation initiale : 7 + 5 = 12, l'égalité est vraie, la solution est correcte.

Retrancher b est l'opération inverse d'ajouter b : c'est ce qui permet de défaire le calcul et d'isoler l'inconnue. Il faut veiller à retrancher (et non ajouter) : écrire x = 12 + 5 = 17 est une erreur fréquente, que la vérification met aussitôt en évidence (17 + 5 = 22, différent de 12).

Les erreurs fréquentes

Ajouter b au lieu de le retrancher : pour x + 5 = 12, écrire x = 12 + 5 = 17.

Pour défaire un + 5, on retranche 5 : x = 12 − 5 = 7. La vérification confirme : 7 + 5 = 12 (alors que 17 + 5 = 22).

Ne retrancher b que d'un seul côté, par exemple écrire x = 12 mais garder le + 5 à gauche.

Sur une balance, on retire b des DEUX plateaux : x + 5 − 5 = 12 − 5, donc x = 7. La même opération des deux côtés.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que, pour x + b = c, on retranche b des deux côtés pour isoler x.
• Résoudre x + 5 = 12 en écrivant x = 12 − 5 = 7.
• Vérifier la solution en la remplaçant : 7 + 5 = 12.

Vérifie que tu as compris

1. Quelle est la solution de l'équation x + 5 = 12 ?

   Réponse 7

   On retranche 5 des deux côtés : x = 12 − 5 = 7. Vérification : 7 + 5 = 12.

2. Pour résoudre x + 8 = 20, que fait-on des deux côtés de l'équation ?

   Réponse On retranche 8

   Pour isoler x, on retranche 8 des deux côtés (l'opération inverse de + 8) : x = 20 − 8 = 12.

3. Un élève résout x + 6 = 15 et écrit x = 15 + 6 = 21. Quelle est la bonne solution ?

   Réponse 9

   Pour défaire un + 6, on retranche 6 des deux côtés : x = 15 − 6 = 9. Vérification : 9 + 6 = 15. L'élève a ajouté au lieu de retrancher, et sa réponse ne passe pas la vérification (21 + 6 = 27).