Qu'est-ce qu'une équation ?

En une phrase

Une équation, c'est une égalité avec un nombre mystère, souvent appelé x. La solution, c'est la valeur de x qui rend l'égalité vraie. Pour vérifier si un nombre est solution, tu le remplaces à la place de x et tu regardes si les deux côtés du signe = donnent bien le même résultat.

Comprendre

Une équation est une égalité qui contient un nombre inconnu, presque toujours noté x. Par exemple, x + 3 = 7 est une équation : à gauche du signe égal il y a x + 3, à droite il y a 7, et x est l'inconnue dont on cherche la valeur. Résoudre l'équation, c'est trouver la valeur de x qui rend l'égalité vraie ; une telle valeur s'appelle une solution.

Pour TESTER si une valeur est solution, on la remplace partout où il y a x, puis on calcule chaque côté : si les deux côtés donnent le même nombre, c'est une solution ; sinon, ce n'en est pas une. Testons x = 4 dans x + 3 = 7 : on remplace, 4 + 3 = 7, et 7 = 7 : l'égalité est vraie, donc x = 4 est bien une solution. Testons maintenant x = 5 : 5 + 3 = 8, or on voulait 7, et 8 ≠ 7 : l'égalité est fausse, donc x = 5 n'est PAS solution.

Attention à ne pas confondre une équation (avec un signe =, comme x + 3 = 7) et une simple expression (comme x + 3), qui n'a pas de second membre à égaler. Tester une valeur ne « résout » pas l'équation à elle seule, mais c'est un moyen sûr de vérifier une réponse : on remplace et on regarde si l'égalité tient. Cette idée — remplacer l'inconnue et comparer les deux côtés — est le fondement de tout ce chapitre.

Le cours

Une équation est une égalité entre deux expressions dont l'une au moins contient un nombre inconnu, appelé l'inconnue et noté le plus souvent x. Par exemple x + 3 = 7 : le membre de gauche est x + 3, le membre de droite est 7. Une solution de l'équation est une valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Pour savoir si un nombre donné est solution, on procède par un test : on remplace l'inconnue par ce nombre, on calcule séparément chaque membre, puis on compare.

Si les deux membres sont égaux, le nombre est une solution ; s'ils diffèrent, il ne l'est pas. Ainsi, pour x + 3 = 7, la valeur x = 4 donne 4 + 3 = 7 : l'égalité est vraie, donc 4 est solution. La valeur x = 5 donne 5 + 3 = 8 ≠ 7 : l'égalité est fausse, donc 5 n'est pas solution.

Ce test est essentiel : il permet de vérifier une réponse une fois l'équation résolue. Il ne faut pas confondre une équation, qui affirme une égalité à vérifier, avec une expression numérique ou littérale, qui n'a pas de second membre. Dans les leçons suivantes, on apprend à trouver directement la solution, sans essayer toutes les valeurs, en effectuant la même opération des deux côtés de l'égalité.

Les erreurs fréquentes

Confondre l'équation x + 3 = 7 avec l'expression x + 3, ou croire que « résoudre », c'est juste calculer x + 3.

Une équation a deux membres reliés par un signe = ; résoudre, c'est trouver la valeur de x qui rend ces deux membres égaux (ici x = 4).

Pour tester une valeur, ne remplacer x que d'un seul côté ou oublier de comparer les deux membres.

On remplace x, on calcule CHAQUE membre, puis on compare : x = 5 donne 5 + 3 = 8, et 8 ≠ 7, donc 5 n'est pas solution.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître une équation (une égalité avec une inconnue) et repérer l'inconnue.
• Expliquer qu'une solution est une valeur qui rend l'égalité vraie.
• Tester une valeur en la remplaçant : x = 4 est solution de x + 3 = 7 car 4 + 3 = 7.

Vérifie que tu as compris

1. Quelle valeur de x est solution de l'équation x + 3 = 7 ?

   Réponse 4

   On cherche x tel que x + 3 = 7. Comme 4 + 3 = 7, la solution est x = 4 (et non 10 = 7 + 3, ni 3).

2. La valeur x = 6 est-elle solution de l'équation x + 2 = 9 ?

   Réponse Non, car 6 + 2 = 8

   On remplace x par 6 : 6 + 2 = 8. Or l'équation demande 9, et 8 ≠ 9 : donc x = 6 n'est PAS solution (la solution est 7).

3. Parmi ces écritures, laquelle est une équation ?

   Réponse x + 3 = 7

   Une équation est une égalité (il y a un signe =) qui contient une inconnue. Les écritures x + 3 et 2x sont de simples expressions, sans second membre, et 3 + 7 = 10 est une égalité sans inconnue.