Résoudre a·x = c

En une phrase

Quand une équation s'écrit a fois x = c (par exemple 3x = 15), x est multiplié par a. Pour laisser x tout seul, tu divises les deux côtés par a. Par exemple, 3x = 15 devient x = 15 ÷ 3 = 5.

Comprendre

L'écriture 3x signifie 3 × x, c'est-à-dire « trois paquets identiques de x ». Une équation comme 3x = 15 se lit donc : « trois paquets égaux valent 15 en tout ». Pour trouver la valeur d'UN paquet, c'est-à-dire x, on PARTAGE équitablement : on divise les deux côtés par 3. À gauche, 3x ÷ 3 laisse x ; à droite, 15 ÷ 3 = 5. On obtient x = 5. Diviser par 3 est l'opération INVERSE de multiplier par 3 : c'est elle qui défait le « × 3 ».

La règle générale est simple : a·x = c donne x = c ÷ a. On vérifie toujours en remplaçant : 3 × 5 = 15, c'est vrai, donc 5 est bien la solution. Attention : pour défaire une multiplication, on divise, on ne retranche pas.

Écrire 3x = 15 donc x = 15 − 3 = 12 est faux : la vérification le montre aussitôt, car 3 × 12 = 36 ≠ 15. De même, multiplier au lieu de diviser (x = 15 × 3 = 45) donne un nombre bien trop grand. Ici, a = 3 et c = 15 sont choisis pour que le partage tombe juste (x = 5 est un entier), ce qui est toujours le cas dans ce chapitre.

Le cours

Dans l'écriture a·x, le nombre a s'appelle le coefficient : il multiplie l'inconnue. Résoudre a·x = c, c'est trouver la valeur de x sachant que a fois cette valeur donne c. On peut voir a·x comme a paquets identiques de x dont le total vaut c ; pour connaître un paquet, on partage le total en a parts égales, autrement dit on divise par a.

Cette opération, faite des deux côtés de l'égalité, en préserve l'équilibre. À gauche, a·x ÷ a se réduit à x ; à droite, il reste c ÷ a. On conclut x = c ÷ a.

Exemple : pour 3x = 15, on divise chaque membre par 3, d'où x = 15 ÷ 3 = 5. On vérifie en remplaçant x par 5 dans l'équation de départ : 3 × 5 = 15, l'égalité est vraie. La division est l'opération inverse de la multiplication : c'est elle qui isole l'inconnue quand celle-ci est multipliée par un nombre. Les erreurs à éviter sont de retrancher a (au lieu de diviser) ou de multiplier par a : dans les deux cas, la vérification échoue.

Les erreurs fréquentes

Retrancher a au lieu de diviser : pour 3x = 15, écrire x = 15 − 3 = 12.

x est multiplié par 3, donc on divise par 3 : x = 15 ÷ 3 = 5. Vérification : 3 × 5 = 15 (alors que 3 × 12 = 36).

Multiplier par a au lieu de diviser : écrire x = 15 × 3 = 45.

Pour défaire un × 3, on divise par 3, on ne multiplie pas : x = 15 ÷ 3 = 5.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que, pour a·x = c, on divise les deux côtés par a pour isoler x (x = c ÷ a).
• Résoudre 3x = 15 en écrivant x = 15 ÷ 3 = 5.
• Vérifier la solution en la remplaçant : 3 × 5 = 15.

Vérifie que tu as compris

1. Quelle est la solution de l'équation 3x = 15 ?

   Réponse 5

   On divise les deux côtés par 3 : x = 15 ÷ 3 = 5. Vérification : 3 × 5 = 15.

2. Pour résoudre 4x = 28, que fait-on des deux côtés de l'équation ?

   Réponse On divise par 4

   a·x = c donne x = c ÷ a : on divise par 4 des deux côtés, donc x = 28 ÷ 4 = 7.

3. Combien vaut x si 6x = 54 ?

   Réponse 9

   x est multiplié par 6 : on divise donc les deux côtés par 6, soit x = 54 ÷ 6 = 9. Vérification : 6 × 9 = 54. Retrancher 6 (48), ajouter 6 (60) ou multiplier par 6 (324) ne défont pas la multiplication.