Mettre un problème en équation — 5ᵉ

En une phrase

Pour résoudre un problème avec une équation, tu suis quatre étapes : tu choisis l'inconnue (par exemple x), tu écris l'équation qui traduit l'énoncé, tu la résous, puis tu vérifies. Exemple : « Paul a 3 billes de plus que Léa et en a 11 » se traduit par x + 3 = 11, donc x = 8.

Comprendre

Beaucoup de problèmes se résolvent en les traduisant en une équation. La méthode comporte quatre étapes. 1) CHOISIR l'inconnue : on décide quelle grandeur cherchée on appelle x, en l'écrivant clairement (« x = nombre de billes de Léa »). 2) ÉCRIRE l'équation : on traduit chaque information de l'énoncé en langage mathématique. Prenons « Paul a 3 billes de plus que Léa, et Paul en a 11 ».

Si Léa a x billes, alors « 3 de plus » donne x + 3, et cela vaut 11 : l'équation est x + 3 = 11. 3) RÉSOUDRE : on isole x avec les méthodes connues ; ici on retranche 3 des deux côtés, x = 11 − 3 = 8. 4) VÉRIFIER et conclure : on contrôle dans le contexte — si Léa a 8 billes, Paul en a 8 + 3 = 11, ce qui correspond bien à l'énoncé ; donc Léa a 8 billes. Le point délicat est la traduction : « de plus » se traduit par une addition, « de moins » par une soustraction, « fois » ou « le double de » par une multiplication. Bien choisir l'inconnue et relier chaque mot au bon symbole est le cœur de la mise en équation.

Cette démarche transforme un énoncé en français en un calcul sûr, au lieu de procéder par tâtonnement.

Le cours

La mise en équation est une méthode générale pour résoudre un problème sans deviner. On commence par choisir l'inconnue : on nomme x la grandeur cherchée et on précise ce qu'elle représente. On traduit ensuite l'énoncé en une équation, en reliant chaque information à une opération : « de plus » correspond à une addition, « de moins » à une soustraction, « fois » ou « le double, le triple de » à une multiplication.

On obtient une égalité contenant x. On résout alors cette équation avec les techniques du chapitre (retrancher, ajouter ou diviser des deux côtés). Enfin, on vérifie que la valeur trouvée a du sens dans le contexte et on rédige la réponse.

Exemple : « Paul a 3 billes de plus que Léa et en possède 11 ; combien Léa en a-t-elle ? ». On pose x = nombre de billes de Léa. « 3 de plus » donne x + 3, égal à 11 : l'équation est x + 3 = 11. On retranche 3 : x = 11 − 3 = 8. Vérification : 8 + 3 = 11, cohérent avec l'énoncé. Léa a donc 8 billes.

La difficulté principale n'est pas le calcul mais la traduction fidèle de l'énoncé ; une lecture attentive des mots-clés permet d'écrire la bonne équation.

Les erreurs fréquentes

Traduire « 3 de plus » par une soustraction ou inverser les rôles : écrire x − 3 = 11 pour « Paul a 3 billes de plus que Léa ».

« De plus » se traduit par une addition : Léa a x, Paul a x + 3, et Paul en a 11, donc x + 3 = 11, d'où x = 8.

Donner l'équation sans la résoudre, ou oublier de vérifier que la réponse a du sens.

On va jusqu'au bout : résoudre (x = 8) puis vérifier dans le contexte (8 + 3 = 11), avant de rédiger la réponse.

Tu maîtrises la notion si…

• Choisir une inconnue et la définir clairement (x = la grandeur cherchée).
• Traduire un énoncé en équation : « Paul a 3 billes de plus que Léa et en a 11 » → x + 3 = 11.
• Résoudre puis vérifier : x = 11 − 3 = 8, et 8 + 3 = 11.

Vérifie que tu as compris

1. Paul a 3 billes de plus que Léa et en a 11. En notant x le nombre de billes de Léa, quelle équation traduit l'énoncé ?

   Réponse x + 3 = 11

   Léa a x billes, Paul en a 3 de plus, soit x + 3, et cela vaut 11 : x + 3 = 11, d'où x = 8.

2. Un stylo coûte x €. Quatre stylos identiques coûtent 20 €. Quelle équation traduit l'énoncé, et quelle est sa solution ?

   Réponse 4x = 20 ; x = 5

   Quatre stylos à x € coûtent 4x, donc 4x = 20. On divise par 4 : x = 20 ÷ 4 = 5 €.

3. Dans un bus, 12 personnes montent à un arrêt ; il y a alors 47 passagers. Combien y avait-il de passagers avant l'arrêt ?

   Réponse 35

   En notant x le nombre de passagers avant l'arrêt, l'énoncé donne x + 12 = 47, donc x = 47 − 12 = 35. Vérification : 35 + 12 = 47. Ajouter au lieu de retrancher donnerait 59, c'est-à-dire plus que le total final.