Résoudre un problème de proportionnalité

En une phrase

Quand une situation est proportionnelle et qu'il manque une valeur dans le tableau, on la retrouve avec le produit en croix : on multiplie deux valeurs en diagonale, puis on divise par la troisième. Cette valeur cherchée s'appelle la quatrième proportionnelle.

Comprendre

Beaucoup de problèmes de la vie courante sont des problèmes de proportionnalité : des prix, des recettes, des échelles… On les présente dans un tableau de proportionnalité à deux lignes, où l'on passe d'une ligne à l'autre en multipliant par un même coefficient. Quand une valeur manque, on la cherche : c'est la quatrième proportionnelle.

Prenons un exemple : 3 kg de pommes coûtent 12 €, combien coûtent 5 kg ? On dresse le tableau (3 kg → 12 € ; 5 kg → ?). La méthode du produit en croix consiste à multiplier les deux valeurs placées « en diagonale » de l'inconnue, puis à diviser par la troisième : la valeur cherchée vaut (5 × 12) ÷ 3 = 60 ÷ 3 = 20 €.

On peut aussi passer par le coefficient de proportionnalité : ici 12 ÷ 3 = 4 € par kg, donc 5 × 4 = 20 €. Les deux méthodes donnent le même résultat. Le piège principal est de mal placer les valeurs : il faut respecter la disposition du tableau (les masses sur une ligne, les prix sur l'autre) et bien identifier la valeur diagonalement opposée à l'inconnue.

Avant tout, il faut vérifier que la situation est réellement proportionnelle, sinon le produit en croix n'a pas de sens.

Le cours

Résoudre un problème de proportionnalité consiste à déterminer une valeur manquante à partir d'une situation où deux grandeurs sont proportionnelles. On organise les données dans un tableau de proportionnalité à deux lignes. La valeur inconnue est appelée quatrième proportionnelle, car on connaît trois valeurs et on cherche la quatrième.

Deux méthodes permettent de la calculer. La première est le produit en croix : dans un tableau où l'inconnue est notée d, avec les autres valeurs a, b et c disposées de sorte que a/b = c/d, on a l'égalité des produits en croix a × d = b × c, d'où d = (b × c) ÷ a. Concrètement, on multiplie les deux valeurs situées sur la diagonale qui NE contient PAS la case vide, puis on divise par la valeur diagonalement opposée à l'inconnue.

Par exemple, si 3 kg de pommes coûtent 12 € et que l'on cherche le prix de 5 kg, on dresse le tableau (3 → 12 ; 5 → ?) et on calcule (5 × 12) ÷ 3 = 60 ÷ 3 = 20 €. La seconde méthode utilise le coefficient de proportionnalité : on cherche le nombre qui permet de passer d'une ligne à l'autre. Ici 12 ÷ 3 = 4 (le prix d'un kilogramme), donc pour 5 kg le prix est 5 × 4 = 20 €.

Les deux méthodes conduisent au même résultat. L'erreur la plus fréquente est de mal placer les valeurs dans le produit en croix (par exemple diviser par la mauvaise valeur) : il faut toujours respecter la disposition du tableau et repérer la valeur diagonalement opposée à l'inconnue. Enfin, ces méthodes ne sont valables que si la situation est bien proportionnelle : c'est la première chose à vérifier.

Les erreurs fréquentes

Mal placer les valeurs dans le produit en croix, par exemple calculer (3 × 12) ÷ 5 au lieu de (5 × 12) ÷ 3.

On multiplie les deux valeurs situées sur la diagonale qui NE contient PAS la case vide, puis on divise par la valeur diagonalement opposée à l'inconnue. Pour le prix de 5 kg avec 3 kg → 12 € : (5 × 12) ÷ 3 = 20 €, et non (3 × 12) ÷ 5.

Appliquer un produit en croix à une situation qui n'est pas proportionnelle.

Le produit en croix ne s'utilise que si la situation est proportionnelle (on passe d'une grandeur à l'autre en multipliant toujours par le même nombre). Il faut le vérifier avant de calculer.

Tu maîtrises la notion si…

• Organiser les données d'un problème dans un tableau de proportionnalité et repérer la valeur manquante (quatrième proportionnelle).
• Calculer une quatrième proportionnelle par un produit en croix : d = (b × c) ÷ a.
• Résoudre un problème de proportionnalité en choisissant le produit en croix ou le coefficient, après avoir vérifié que la situation est proportionnelle.

Vérifie que tu as compris

1. 3 kg de pommes coûtent 12 €. Combien coûtent 5 kg (produit en croix) ?

   Réponse 20 €

   Par le produit en croix : (5 × 12) ÷ 3 = 60 ÷ 3 = 20 €. (Ou coefficient : 12 ÷ 3 = 4 € par kg, puis 5 × 4 = 20 €.)

2. Une recette pour 4 personnes demande 300 g de farine. Quelle masse faut-il pour 6 personnes ?

   Réponse 450 g

   Par le produit en croix : (6 × 300) ÷ 4 = 1800 ÷ 4 = 450 g. (Ou coefficient : 300 ÷ 4 = 75 g par personne, puis 6 × 75 = 450 g.)

3. Pour repeindre 15 m² de mur, il faut 3 L de peinture. Quelle quantité faut-il prévoir pour 25 m² ?

   Réponse 5 L

   Produit en croix : (25 × 3) ÷ 15 = 75 ÷ 15 = 5 L. Vérification par le coefficient : 3 ÷ 15 = 0,2 L par m², donc 25 × 0,2 = 5 L. La mauvaise diagonale, (15 × 3) ÷ 25, donnerait 1,8 L ; le raisonnement additif (10 m² de plus, donc 3 + 10), 13 L ; et l'oubli de la division, 75 L.