La proportionnalité

En une phrase

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre : le coefficient de proportionnalité. Si tu prends 2 fois plus d'une grandeur, l'autre devient aussi 2 fois plus grande.

Comprendre

Imagine des stylos identiques : si 4 stylos coûtent 6 €, alors 8 stylos (2 fois plus) coûtent 12 € (2 fois plus). C'est ça la proportionnalité : le prix et le nombre de stylos varient « ensemble », en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre, qui permet de passer du nombre de stylos au prix, s'appelle le coefficient de proportionnalité (ici 6 ÷ 4 = 1,5, soit 1,50 € par stylo).

Dès que tu multiplies une grandeur par un nombre, l'autre est multipliée par le même nombre. Quand il manque une valeur dans un tableau de proportionnalité, on la trouve avec un produit en croix : pour un tableau qui relie 4 stylos à 6 € et 8 stylos à un prix inconnu, on calcule (8 × 6) ÷ 4 = 12 €. Cette valeur qu'on cherche s'appelle la quatrième proportionnelle.

Les pourcentages sont un cas particulier de proportionnalité : un pourcentage est une proportion sur 100. Dire « 20 % », c'est dire « 20 sur 100 ». Donc 20 % de 50 se calcule (20 × 50) ÷ 100 = 10. Attention : la proportionnalité n'est pas automatique. L'âge d'une personne et sa taille ne sont pas proportionnels (à 10 ans on ne mesure pas le double qu'à 5 ans).

Avant d'utiliser un produit en croix, vérifie donc qu'on multiplie bien toujours par le même nombre pour passer d'une grandeur à l'autre.

Le cours

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité. Par exemple, si des stylos identiques coûtent 1,50 € chacun, le prix est proportionnel au nombre de stylos : pour 4 stylos on paie 6 €, pour 8 stylos (2 fois plus) on paie 12 € (2 fois plus).

Le coefficient vaut ici 1,5 (le prix d'un stylo), et il permet de passer du nombre de stylos au prix en multipliant. On présente souvent ces situations dans un tableau de proportionnalité, où l'on peut passer d'une ligne à l'autre en multipliant par le coefficient. Lorsqu'une valeur manque dans le tableau, on la détermine par un produit en croix : c'est ce qu'on appelle chercher une quatrième proportionnelle.

Si 4 stylos coûtent 6 € et que l'on cherche le prix de 8 stylos, on calcule (8 × 6) ÷ 4 = 12 €. Le pourcentage est un cas particulier très utile de proportionnalité : un pourcentage est une proportion ramenée à 100. « 20 % » signifie « 20 pour 100 ». Pour calculer 20 % de 50, on fait (20 × 50) ÷ 100 = 10. Il faut toujours vérifier que la situation est bien proportionnelle avant d'appliquer ces outils : si l'on ne multiplie pas toujours par le même nombre pour passer d'une grandeur à l'autre, il n'y a pas proportionnalité (par exemple l'âge et la taille d'une personne ne sont pas proportionnels).

La proportionnalité, le produit en croix et les pourcentages forment un ensemble d'outils essentiels pour résoudre de nombreux problèmes de la vie courante.

Les erreurs fréquentes

Croire que deux grandeurs sont toujours proportionnelles, par exemple penser qu'à 10 ans on mesure le double de sa taille de 5 ans.

Deux grandeurs ne sont proportionnelles que si on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. L'âge et la taille ne sont pas proportionnels : on ne mesure pas le double à 10 ans qu'à 5 ans.

Pour calculer 20 % de 50, ajouter 20 à 50 (ou faire 20 + 50).

Un pourcentage est une proportion sur 100 : 20 % de 50 se calcule (20 × 50) ÷ 100 = 10. On multiplie par 20 et on divise par 100, on n'ajoute pas le pourcentage à la valeur.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître une situation de proportionnalité (on passe d'une grandeur à l'autre en multipliant toujours par le même nombre) et identifier le coefficient de proportionnalité.
• Calculer une quatrième proportionnelle (valeur manquante) à l'aide d'un produit en croix.
• Calculer un pourcentage d'une quantité en comprenant qu'un pourcentage est une proportion sur 100 (par exemple 20 % de 50 = 10).

Vérifie que tu as compris

1. Si 4 stylos coûtent 6 €, alors 8 stylos coûtent (situation proportionnelle) :

   Réponse 12 €

   8 stylos, c'est 2 fois 4 stylos : le prix est aussi multiplié par 2, soit 6 × 2 = 12 €.

2. Dans un tableau de proportionnalité, 3 correspond à 7,5. À combien correspond 5 ?

   Réponse 12,5

   Le coefficient de proportionnalité est 7,5 / 3 = 2,5. Donc 5 correspond à 5 × 2,5 = 12,5.

3. Léo affirme qu'à 10 ans, on mesure forcément le double de sa taille à 5 ans. Que penser de son raisonnement ?

   Réponse Il a tort : l'âge et la taille ne sont pas proportionnels

   Deux grandeurs ne sont proportionnelles que si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant TOUJOURS par le même nombre. Un enfant qui mesure 1,10 m à 5 ans ne mesure pas 2,20 m à 10 ans : l'âge et la taille augmentent ensemble, mais pas proportionnellement.