Résoudre graphiquement f(x) = k

L'essentiel

RÉSOUDRE GRAPHIQUEMENT une équation comme x² = 4, c'est utiliser la parabole pour trouver les valeurs de x sans calcul algébrique. La méthode : on trace la DROITE HORIZONTALE d'équation y = k (ici y = 4), puis on repère les POINTS COMMUNS entre cette droite et la parabole ; les ABSCISSES de ces points sont les solutions. Pour x² = 4 : la droite y = 4 coupe la parabole en deux points, (−2 ; 4) et (2 ; 4).

On lit leurs abscisses : x = −2 ou x = 2. Il y a bien DEUX solutions, opposées l'une de l'autre, à cause de la symétrie de la parabole. Le nombre de solutions dépend du signe de k : (1) si k > 0, la droite horizontale coupe la parabole en DEUX points → deux solutions opposées (x² = 9 → x = −3 ou x = 3) ; (2) si k = 0, la droite passe par le sommet et touche la parabole en UN seul point → une solution (x = 0) ; (3) si k < 0, la droite est SOUS l'axe des abscisses, elle ne rencontre JAMAIS la parabole → AUCUNE solution (x² = −1 est impossible, car un carré ne peut pas être négatif). C'est une différence importante avec une équation du type ax + b = k, qui a toujours une seule solution.

Comprendre

Ce concept transforme la parabole en outil de résolution. RÉSOUDRE GRAPHIQUEMENT x² = k : on trace la droite horizontale y = k et on lit les abscisses de ses points communs avec la parabole. Exemple fil rouge : x² = 4. La droite y = 4 coupe la parabole en (−2 ; 4) et (2 ; 4) ; les solutions sont x = −2 ou x = 2 (deux solutions opposées, à cause de la symétrie).

Le NOMBRE de solutions dépend du signe de k : (1) k > 0 → DEUX solutions opposées ; (2) k = 0 → UNE (le sommet, x = 0) ; (3) k < 0 → AUCUNE (la parabole reste au-dessus de l'axe des abscisses, x² = −1 est impossible). Points de vigilance : ne pas donner une seule solution quand il y en a deux (penser à l'opposé) ; comprendre qu'un carré n'est jamais négatif, d'où l'absence de solution si k < 0 ; distinguer ce comportement de celui d'une équation affine ax + b = k avec a ≠ 0 (toujours une solution). Cette lecture prépare la résolution à l'intersection de deux courbes et des inéquations (concept 4).

Le cours

RÉSOUDRE GRAPHIQUEMENT f(x) = k. LE PRINCIPE. Résoudre graphiquement l'équation x² = k, c'est lire sur la parabole les valeurs de x dont l'image vaut k.

On trace la DROITE HORIZONTALE d'équation y = k, puis on repère les POINTS COMMUNS entre cette droite et la parabole : les ABSCISSES de ces points sont les solutions. EXEMPLE FIL ROUGE. Résolvons x² = 4. On trace la droite y = 4. Elle coupe la parabole en deux points : (−2 ; 4) et (2 ; 4).

On lit leurs abscisses : les solutions sont x = −2 ou x = 2. Vérification : (−2)² = 4 et 2² = 4. Ce sont deux nombres OPPOSÉS, à cause de la symétrie de la parabole par rapport à l'axe des ordonnées. LE NOMBRE DE SOLUTIONS SELON k. Tout dépend du signe de k. (1) Si k > 0 : la droite horizontale y = k coupe la parabole en DEUX points → deux solutions opposées (par exemple x² = 9 → x = −3 ou x = 3). (2) Si k = 0 : la droite y = 0 (l'axe des abscisses) touche la parabole en un seul point, le sommet → UNE solution, x = 0. (3) Si k < 0 : la droite y = k est SOUS l'axe des abscisses ; comme la parabole reste au-dessus, elles ne se rencontrent jamais → AUCUNE solution.

C'est logique : un carré ne peut pas être négatif, donc x² = −1 est impossible. Points de vigilance. (1) Quand k > 0, ne pas oublier la SECONDE solution : les deux solutions sont opposées. (2) Un carré est toujours positif ou nul : si k < 0, il n'y a pas de solution. (3) Ce comportement diffère d'une équation affine (ax + b = k, avec a ≠ 0), qui admet toujours une seule solution. À retenir : résoudre x² = k = tracer y = k et lire les abscisses des points communs ; k > 0 → 2 solutions opposées (x² = 4 → −2 ou 2) ; k = 0 → 1 (x = 0) ; k < 0 → aucune.

Les erreurs fréquentes

On ne donne qu'une seule solution à x² = 4 : « x = 2 ».

La droite y = 4 coupe la parabole en DEUX points, (−2 ; 4) et (2 ; 4) : il y a deux solutions opposées, x = −2 ou x = 2. À cause de la symétrie de la parabole, quand k > 0 il faut toujours penser à la solution négative aussi.

On cherche des solutions à x² = −1 (ou tout x² = k avec k < 0).

Un carré est toujours positif ou nul, donc x² ne peut jamais valoir un nombre négatif : la parabole reste au-dessus de l'axe des abscisses. L'équation x² = −1 n'a AUCUNE solution.

On oublie le cas k = 0 ou on lui donne deux solutions.

Pour x² = 0, la droite y = 0 (l'axe des abscisses) touche la parabole en un seul point, le sommet (0 ; 0) : il y a une UNIQUE solution, x = 0.

Tu maîtrises la notion si…

• Résoudre graphiquement x² = k en traçant la droite y = k et en lisant les abscisses des points communs avec la parabole.
• Donner les deux solutions opposées de x² = 4 : x = −2 ou x = 2.
• Justifier qu'une équation x² = k avec k < 0 n'a aucune solution (un carré est ≥ 0).
• Déterminer le nombre de solutions selon le signe de k : deux si k > 0, une si k = 0, aucune si k < 0.

Vérifie que tu as compris

1. En lisant sur la parabole, quelles sont les solutions de l'équation x² = 4 ?

   Réponse x = −2 ou x = 2

   On cherche les points de la parabole d'ordonnée 4 : ils ont pour abscisses −2 et 2 (car (−2)² = 4 et 2² = 4). Comme 4 > 0, il y a deux solutions opposées.

2. Graphiquement, pourquoi l'équation x² = −1 n'a-t-elle aucune solution ?

   Réponse La parabole ne descend jamais sous l'axe des abscisses

   La courbe de la fonction carré est une parabole entièrement située au-dessus de l'axe des abscisses (elle ne le touche qu'en 0) : aucune de ses ordonnées n'est négative. Résoudre x² = −1 revient à chercher les points de la parabole d'ordonnée −1, et il n'y en a aucun. Autrement dit, x² = k n'a de solution que si k ≥ 0.

3. On trace la droite horizontale d'ordonnée 9. En combien de points coupe-t-elle la parabole ?

   Réponse 2 points

   Les points communs ont pour ordonnée 9, donc leur abscisse vérifie x² = 9 : ce sont −3 et 3. La droite coupe la parabole en (−3 ; 9) et (3 ; 9), soit deux points. Toute droite horizontale d'ordonnée strictement positive la coupe deux fois.