Lecture graphique : image, antécédent, variations

L'essentiel

Une fois la parabole tracée, on peut LIRE dessus plusieurs informations, sans calcul. (1) LIRE UNE IMAGE. Pour trouver l'image de 2, on part du nombre 2 sur l'axe des abscisses (horizontal), on MONTE verticalement jusqu'à toucher la courbe, puis on se déplace horizontalement vers l'AXE DES ORDONNÉES (vertical) : on lit 4. Donc f(2) = 4. Pour lire une image : x donné → on cherche y. (2) LIRE UN ANTÉCÉDENT. C'est le trajet inverse.

Pour trouver les antécédents de 4, on part de 4 sur l'axe des ordonnées, on se déplace horizontalement jusqu'à rencontrer la courbe, puis on descend vers l'axe des abscisses. On tombe sur DEUX points : x = −2 et x = 2 (car la parabole est symétrique). Un nombre a donc en général DEUX antécédents par la fonction carré (contrairement à une fonction affine, où il n'y en a qu'un).

Pour lire un antécédent : y donné → on cherche x. (3) DÉCRIRE LES VARIATIONS. En parcourant la courbe de GAUCHE à DROITE : sur les nombres négatifs, la parabole DESCEND (la fonction DÉCROÎT) ; au sommet (0 ; 0), elle atteint son point le plus bas ; puis sur les nombres positifs, elle REMONTE (la fonction CROÎT). On dit que la fonction carré est décroissante sur les négatifs, croissante sur les positifs, et qu'elle atteint son MINIMUM 0 en x = 0. Piège : ne pas confondre lire une image (on part de l'axe des x) et lire un antécédent (on part de l'axe des y), et ne pas oublier le second antécédent.

Comprendre

Ce concept fait de la parabole un instrument de lecture complet. (1) LIRE UNE IMAGE (x → y) : partir de x sur l'axe des abscisses, monter jusqu'à la courbe, puis aller vers l'axe des ordonnées ; pour x = 2, on lit f(2) = 4. (2) LIRE UN ANTÉCÉDENT (y → x) : trajet inverse, partir de y sur l'axe des ordonnées, rejoindre la courbe, puis descendre ; pour 4, on trouve DEUX antécédents, −2 et 2 (symétrie de la parabole). Un nombre positif a en général deux antécédents par la fonction carré. (3) VARIATIONS : en lisant la courbe de gauche à droite, la fonction DÉCROÎT sur les négatifs (elle descend vers le sommet), puis CROÎT sur les positifs (elle remonte) ; elle atteint son MINIMUM 0 en x = 0. Points de vigilance : distinguer lire une image (part de l'axe des x) et lire un antécédent (part de l'axe des y) ; ne pas oublier le second antécédent ; décrire correctement le sens de variation (décroissante puis croissante). Ce concept boucle le chapitre en reliant lecture ponctuelle et comportement global de la fonction carré.

Le cours

LECTURE GRAPHIQUE : IMAGE, ANTÉCÉDENT, VARIATIONS. La parabole permet de lire, sans calcul, plusieurs informations sur la fonction carré. LIRE UNE IMAGE (x → y).

Pour lire l'image d'un nombre x, on part de x sur l'AXE DES ABSCISSES, on MONTE verticalement jusqu'à la courbe, puis on se déplace horizontalement vers l'AXE DES ORDONNÉES où l'on lit la valeur. Exemple : pour x = 2, on monte jusqu'à la parabole puis on lit 4 sur l'axe des ordonnées : f(2) = 4. LIRE UN ANTÉCÉDENT (y → x). C'est le trajet inverse : pour trouver les antécédents d'un nombre y, on part de y sur l'AXE DES ORDONNÉES, on se déplace horizontalement jusqu'à rencontrer la courbe, puis on descend vers l'AXE DES ABSCISSES.

Pour y = 4, on rencontre la parabole en DEUX points et l'on descend sur x = −2 et x = 2 : les antécédents de 4 sont −2 et 2. Un nombre strictement positif a en général DEUX antécédents par la fonction carré, à cause de la symétrie (une fonction affine n'en a qu'un). LES VARIATIONS. En parcourant la parabole de GAUCHE à DROITE : sur les nombres négatifs, la courbe DESCEND — la fonction DÉCROÎT ; elle atteint son point le plus bas au sommet (0 ; 0) ; sur les nombres positifs, la courbe REMONTE — la fonction CROÎT.

La fonction carré est donc décroissante sur les négatifs, croissante sur les positifs, avec un MINIMUM égal à 0 atteint en x = 0. Points de vigilance. (1) Ne pas confondre lire une image (on part de l'axe des abscisses, x connu) et lire un antécédent (on part de l'axe des ordonnées, y connu). (2) Ne pas oublier le SECOND antécédent. (3) Bien dire décroissante PUIS croissante (et non l'inverse). À retenir : image de 2 = 4 (monter à la courbe, aller vers l'axe des ordonnées) ; antécédents de 4 = −2 et 2 (deux en général) ; variations : décroît sur les négatifs, croît sur les positifs, minimum 0 en x = 0.

Les erreurs fréquentes

On confond lire une image et lire un antécédent (on part du mauvais axe).

Pour une IMAGE, on part de x sur l'axe des abscisses, on monte à la courbe, puis on va vers l'axe des ordonnées (x → y) : f(2) = 4. Pour un ANTÉCÉDENT, on part de y sur l'axe des ordonnées, on rejoint la courbe, puis on descend (y → x) : les antécédents de 4 sont −2 et 2.

On ne donne qu'un seul antécédent (par exemple « l'antécédent de 4 est 2 »).

Par la fonction carré, un nombre strictement positif a en général DEUX antécédents, opposés l'un de l'autre : les antécédents de 4 sont −2 ET 2 (car (−2)² = 4 et 2² = 4). La symétrie de la parabole en donne deux dès que le nombre est STRICTEMENT positif ; 0 n'a qu'un seul antécédent (0) et un nombre négatif n'en a aucun.

On décrit mal les variations (« la fonction croît puis décroît » ou « elle croît partout »).

En lisant la parabole de gauche à droite, la fonction carré DÉCROÎT d'abord (sur les négatifs, elle descend vers le sommet), PUIS CROÎT (sur les positifs, elle remonte). Elle atteint son minimum 0 en x = 0 : décroissante puis croissante, pas l'inverse.

Tu maîtrises la notion si…

• Lire l'image d'un nombre sur la parabole (monter jusqu'à la courbe puis aller vers l'axe des ordonnées) : f(2) = 4.
• Lire les antécédents d'un nombre (deux en général) : les antécédents de 4 sont −2 et 2.
• Distinguer la lecture d'une image (part de l'axe des abscisses) de celle d'un antécédent (part de l'axe des ordonnées).
• Décrire les variations : décroissante sur les négatifs, croissante sur les positifs, minimum 0 en x = 0.

Vérifie que tu as compris

1. Sur la parabole de f : x ↦ x², quels sont les antécédents du nombre 9 ?

   Réponse −3 et 3

   Les antécédents de 9 sont les nombres dont l'image est 9 : on cherche x tel que x² = 9, soit x = −3 ou x = 3. Un nombre strictement positif a deux antécédents par la fonction carré.

2. Comment décrire les variations de la fonction carré ?

   Réponse elle décroît sur les négatifs puis croît sur les positifs, minimum 0 en x = 0

   En parcourant la parabole de gauche à droite, elle descend jusqu'au sommet (0 ; 0) puis remonte : la fonction carré décroît sur les négatifs, croît sur les positifs, et atteint son minimum 0 en x = 0.

3. Un point de la parabole a pour abscisse 5. Quelle est son ordonnée ?

   Réponse 25

   Un point de la parabole s'écrit (x ; x²). Pour l'abscisse 5, l'ordonnée est 5² = 5 × 5 = 25 : le point est (5 ; 25). Élever au carré n'est ni doubler (10) ni prendre la moitié (2,5).