La fonction carré f(x) = x²

L'essentiel

La FONCTION CARRÉ est une nouvelle fonction, la première qui n'est ni linéaire ni affine. Elle s'écrit f : x ↦ x² : à chaque nombre x, elle associe son CARRÉ, c'est-à-dire x × x. Pour calculer une IMAGE, on remplace x par sa valeur et on élève au carré : f(3) = 3² = 3 × 3 = 9 ; f(2) = 2² = 4 ; f(1) = 1 ; f(0) = 0. Deux choses très importantes la rendent différente. (1) Un nombre et son OPPOSÉ ont la MÊME image : f(−3) = (−3)² = (−3) × (−3) = 9 = f(3).

C'est normal, car le carré d'un nombre négatif est positif (moins par moins donne plus). Ainsi f(−2) = 4 = f(2). (2) Les images sont TOUJOURS POSITIVES ou nulles : un carré ne peut pas être négatif. Attention aussi : la fonction carré n'est PAS une fonction linéaire.

Certes f(0) = 0, mais il n'y a pas de proportionnalité : si on double x, l'image ne double pas. Par exemple f(1) = 1 et f(2) = 4 : en doublant x, l'image est multipliée par 4, pas par 2. On ne peut donc pas écrire f(x) = ax. Piège fréquent : (−3)² n'est pas −9. Le carré porte sur tout le nombre, signe compris : (−3)² = 9, alors que −3² (sans parenthèses) vaudrait −9.

Comprendre

Ce concept introduit la première fonction non linéaire. La FONCTION CARRÉ s'écrit f : x ↦ x² : elle associe à x son carré x × x. Calculer une image = remplacer x et élever au carré : f(3) = 9, f(2) = 4, f(0) = 0. Deux propriétés la caractérisent. (1) f(−x) = f(x) : un nombre et son opposé ont la même image, car le carré d'un négatif est positif (f(−3) = (−3)² = 9 = f(3)). (2) Les images sont toujours POSITIVES ou nulles (un carré est ≥ 0).

Contrairement à une fonction linéaire, il n'y a PAS de proportionnalité : f(1) = 1, f(2) = 4 (doubler x quadruple l'image), donc f n'est pas de la forme ax. Points de vigilance : bien mettre le nombre entre parenthèses avant d'élever au carré ((−3)² = 9, pas −9) ; ne pas confondre carré et double (3² = 9, pas 3 × 2 = 6). Cette forme x ↦ x² prépare la parabole (concept 2), courbe symétrique qui traduit graphiquement l'égalité f(−x) = f(x).

Le cours

LA FONCTION CARRÉ x ↦ x². DÉFINITION. La fonction carré est la fonction f : x ↦ x² : à chaque nombre x, elle associe son carré x², c'est-à-dire le produit x × x.

C'est la première fonction du programme qui n'est ni linéaire, ni affine. CALCULER UNE IMAGE. Pour calculer l'image d'un nombre, on remplace x par sa valeur et on élève au carré : f(3) = 3² = 3 × 3 = 9 ; f(2) = 2² = 4 ; f(1) = 1² = 1 ; f(0) = 0² = 0. DEUX PROPRIÉTÉS CLÉS. (1) Un nombre et son OPPOSÉ ont la même image : f(−x) = f(x).

En effet, le carré d'un nombre négatif est positif : f(−3) = (−3)² = (−3) × (−3) = 9 = f(3), et f(−2) = (−2)² = 4 = f(2). (2) Les images sont TOUJOURS POSITIVES ou nulles : pour tout x, x² ≥ 0. CE N'EST PAS UNE FONCTION LINÉAIRE. Même si f(0) = 0, la fonction carré n'est pas linéaire : il n'y a pas de proportionnalité. Par exemple f(1) = 1 et f(2) = 4 : en doublant x, l'image est multipliée par 4 (et non par 2).

On ne peut donc pas l'écrire sous la forme x ↦ ax. Points de vigilance. (1) Élever au carré porte sur tout le nombre : on met le nombre entre parenthèses, (−3)² = 9, à ne pas confondre avec −3² = −9. (2) Le carré n'est pas le double : 3² = 9, pas 3 × 2 = 6. (3) Un carré n'est jamais négatif. À retenir : fonction carré = x ↦ x² ; f(3) = 9, f(0) = 0 ; f(−3) = 9 = f(3) (même image pour un nombre et son opposé) ; images ≥ 0 ; non linéaire.

Les erreurs fréquentes

On pense que f(−3) est négatif : « f(−3) = (−3)² = −9 ».

Le carré d'un nombre négatif est POSITIF : (−3)² = (−3) × (−3) = 9. Un nombre et son opposé ont la même image : f(−3) = 9 = f(3). Attention aux parenthèses : (−3)² = 9, alors que −3² (sans parenthèses) vaudrait −9.

On croit qu'un carré peut être négatif, ou que la fonction carré prend des valeurs négatives.

Pour tout nombre x, x² ≥ 0 : un carré est toujours positif ou nul. Les images de la fonction carré sont donc TOUJOURS positives ou nulles (le minimum est 0, atteint en x = 0).

On confond le carré et le double : « f(3) = 3² = 3 × 2 = 6 ».

Élever au carré, c'est multiplier le nombre par LUI-MÊME, pas par 2 : f(3) = 3² = 3 × 3 = 9. Le double de 3 est 6, mais son carré est 9.

On traite la fonction carré comme une fonction linéaire (proportionnalité).

La fonction carré n'est PAS linéaire : il n'y a pas de proportionnalité. En doublant x, l'image ne double pas : f(1) = 1 et f(2) = 4 (× 4). On ne peut pas l'écrire x ↦ ax.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître la fonction carré à sa forme x ↦ x² et calculer une image : f(3) = 3² = 9, f(2) = 4, f(0) = 0.
• Justifier qu'un nombre et son opposé ont la même image : f(−3) = (−3)² = 9 = f(3).
• Justifier que les images de la fonction carré sont toujours positives ou nulles.
• Expliquer que la fonction carré n'est pas linéaire (pas de proportionnalité : f(2) = 4 ≠ 2 × f(1)).

Vérifie que tu as compris

1. Soit f la fonction carré, f : x ↦ x². Combien vaut f(3) ?

   Réponse 9

   On élève 3 au carré : f(3) = 3² = 3 × 3 = 9. Ce n'est pas 3 × 2 = 6 (élever au carré, c'est multiplier le nombre par lui-même).

2. Pour la fonction carré f : x ↦ x², que vaut f(−3) ?

   Réponse 9

   f(−3) = (−3)² = (−3) × (−3) = 9. Le carré d'un nombre négatif est positif : un nombre et son opposé ont la même image, f(−3) = 9 = f(3).

3. Deux nombres opposés ont, par la fonction carré :

   Réponse la même image

   Élever au carré fait disparaître le signe : (−4)² = 16 et 4² = 16. Un nombre et son opposé ont donc la même image, f(−x) = f(x). C'est ce qui rend la parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.