La courbe de la fonction carré : la parabole

L'essentiel

Pour DESSINER la fonction carré, on place dans un repère les points de coordonnées (x ; x²). On calcule quelques images : f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9, ce qui donne les points (0 ; 0), (1 ; 1), (2 ; 4), (3 ; 9). Mais comme un nombre et son opposé ont la même image, on obtient aussi (−1 ; 1), (−2 ; 4), (−3 ; 9) : ces points sont les REFLETS des premiers.

En reliant tous ces points, on obtient une courbe en forme de U appelée la PARABOLE. Cette parabole a une propriété remarquable : elle est SYMÉTRIQUE par rapport à l'AXE DES ORDONNÉES (l'axe vertical, Oy). C'est la traduction graphique de f(−x) = f(x) : le point à gauche et le point à droite sont à la même hauteur.

Le point le plus BAS de la parabole s'appelle le SOMMET : c'est le point (0 ; 0), et comme les images sont toujours positives ou nulles, c'est le MINIMUM de la fonction. La parabole ne descend jamais sous l'axe des abscisses. Attention : ce n'est PAS une droite (la fonction carré n'est pas linéaire) ; plus on s'éloigne de 0, plus la courbe monte vite (de (2 ; 4) à (3 ; 9), on grimpe de 5).

Comprendre

Ce concept donne l'image géométrique de la fonction carré. Représenter f : x ↦ x², c'est placer les points (x ; x²). On obtient (0 ; 0), (1 ; 1), (2 ; 4), (3 ; 9) et, par symétrie (car f(−x) = f(x)), (−1 ; 1), (−2 ; 4), (−3 ; 9).

En les reliant, on trace une courbe en U : la PARABOLE. Deux caractéristiques essentielles : (1) elle est SYMÉTRIQUE par rapport à l'axe des ORDONNÉES (Oy), reflet de f(−x) = f(x) ; (2) son SOMMET (point le plus bas, le minimum) est (0 ; 0), et la parabole reste au-dessus de l'axe des abscisses (images ≥ 0). Ce n'est PAS une droite : la courbe monte de plus en plus vite quand on s'éloigne de 0 (de (2 ; 4) à (3 ; 9), + 5).

Points de vigilance : placer les points symétriques deux à deux à la même hauteur ; ne pas oublier la moitié gauche de la courbe ; savoir que le sommet est en (0 ; 0). Cette lecture prépare la résolution graphique de x² = k (concept 3), où l'on coupe la parabole par des droites horizontales.

Le cours

LA COURBE DE LA FONCTION CARRÉ : LA PARABOLE. LES POINTS (x ; x²). Représenter la fonction carré dans un repère, c'est placer les points dont l'abscisse est x et l'ordonnée est x².

On calcule quelques images : f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9, d'où les points (0 ; 0), (1 ; 1), (2 ; 4), (3 ; 9). LA SYMÉTRIE. Comme un nombre et son opposé ont la même image (f(−x) = f(x)), on obtient aussi (−1 ; 1), (−2 ; 4), (−3 ; 9).

Chaque point de gauche est le reflet d'un point de droite, à la même hauteur. UNE COURBE EN U : LA PARABOLE. En reliant tous ces points par une courbe régulière, on obtient la PARABOLE, une courbe en forme de U. Elle est SYMÉTRIQUE par rapport à l'AXE DES ORDONNÉES (l'axe vertical, noté Oy) : c'est la traduction graphique de f(−x) = f(x).

LE SOMMET. Le point le plus bas de la parabole s'appelle le SOMMET : c'est (0 ; 0). Comme les images sont toujours positives ou nulles, ce sommet est le MINIMUM de la fonction ; la parabole ne descend jamais sous l'axe des abscisses.

UNE COURBE, PAS UNE DROITE. La fonction carré n'étant pas linéaire, sa représentation n'est PAS une droite. La courbe monte de plus en plus vite quand on s'éloigne de 0 : de (1 ; 1) à (2 ; 4) on monte de 3, de (2 ; 4) à (3 ; 9) on monte de 5. Points de vigilance. (1) Placer les points symétriques deux à deux, à la même hauteur (par exemple (−2 ; 4) et (2 ; 4)). (2) Ne pas oublier la partie gauche de la parabole. (3) Le sommet est en (0 ; 0), et la courbe reste au-dessus de l'axe des abscisses.

À retenir : fonction carré → parabole (courbe en U) ; symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Oy) ; sommet (minimum) (0 ; 0) ; points (0 ; 0), (1 ; 1), (2 ; 4), (3 ; 9) et leurs symétriques.

Les erreurs fréquentes

On trace une droite pour la fonction carré, comme pour une fonction linéaire.

La fonction carré n'est PAS linéaire : sa représentation n'est pas une droite mais une PARABOLE (courbe en U). Les points (1 ; 1), (2 ; 4), (3 ; 9) ne sont pas alignés (la courbe monte de plus en plus vite).

On oublie la moitié gauche de la parabole (les x négatifs).

Comme f(−x) = f(x), à chaque point de droite correspond un point symétrique à gauche, à la même hauteur : (−1 ; 1), (−2 ; 4), (−3 ; 9). La parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; il ne faut pas dessiner qu'une seule branche.

On place le sommet ailleurs qu'en (0 ; 0), ou on fait descendre la courbe sous l'axe des abscisses.

Le sommet (point le plus bas, minimum) de la parabole est (0 ; 0). Comme les images sont positives ou nulles, la parabole reste toujours au-dessus de l'axe des abscisses : elle ne descend jamais en dessous.

Tu maîtrises la notion si…

• Placer les points (x ; x²) de la fonction carré : (0 ; 0), (1 ; 1), (2 ; 4), (3 ; 9) et leurs symétriques.
• Tracer la parabole (courbe en U) et reconnaître que ce n'est pas une droite.
• Justifier la symétrie de la parabole par rapport à l'axe des ordonnées à l'aide de f(−x) = f(x).
• Situer le sommet (minimum) en (0 ; 0) et savoir que la courbe reste au-dessus de l'axe des abscisses.

Vérifie que tu as compris

1. La représentation graphique de la fonction carré f : x ↦ x² est…

   Réponse une parabole (courbe en U)

   La fonction carré n'est pas linéaire : sa courbe n'est pas une droite mais une PARABOLE (courbe en U), symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, de sommet (0 ; 0).

2. Par lequel de ces points la parabole de f : x ↦ x² passe-t-elle ?

   Réponse (−2 ; 4)

   Un point de la parabole est (x ; x²). Pour x = −2 : f(−2) = (−2)² = 4, donc (−2 ; 4). L'ordonnée est toujours positive ou nulle.

3. Par rapport à quel axe la parabole de la fonction carré est-elle symétrique ?

   Réponse l'axe des ordonnées

   Comme f(−x) = f(x), les points (−2 ; 4) et (2 ; 4) sont à la même hauteur, de part et d'autre de l'axe vertical : la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et son sommet est en (0 ; 0).