Résolution graphique d'équations et d'inéquations

L'essentiel

On peut résoudre des équations ET des inéquations en regardant DEUX COURBES à la fois. Pour une ÉQUATION comme x² = 4 : on considère la parabole y = x² et la droite horizontale y = 4, et on cherche leurs POINTS COMMUNS (les points d'INTERSECTION). Les solutions sont les ABSCISSES de ces points : ici (−2 ; 4) et (2 ; 4), donc x = −2 et x = 2. Pour une INÉQUATION comme x² < 4 : on ne cherche plus les points communs, mais la ZONE où la parabole est SOUS la droite y = 4 (car x² < 4 veut dire « l'ordonnée de la parabole est plus petite que 4 »).

Sur le graphique, cette zone est comprise ENTRE les deux points d'intersection : la parabole plonge sous la droite pour x compris entre −2 et 2. La solution est donc l'INTERVALLE −2 < x < 2. À l'inverse, pour x² > 4, on cherche là où la parabole est AU-DESSUS de la droite : les deux zones extérieures, x < −2 ou x > 2. Méthode générale : (1) une équation → points communs (on lit des abscisses précises) ; (2) une inéquation → une portion de courbe au-dessus ou en dessous (on lit un intervalle). Piège : bien repérer si l'on veut « sous » (inférieur) ou « au-dessus » (supérieur), et donner un intervalle, pas un seul nombre.

Comprendre

Ce concept généralise la lecture graphique aux intersections de courbes et aux inéquations. Une ÉQUATION x² = 4 se lit comme les POINTS COMMUNS des courbes y = x² et y = 4 : on lit les abscisses de (−2 ; 4) et (2 ; 4), soit x = −2 et x = 2. Une INÉQUATION x² < 4 se lit comme la PORTION où la parabole est SOUS la droite y = 4 : cette portion est ENTRE les deux points d'intersection, d'où l'INTERVALLE −2 < x < 2. Réciproquement, x² > 4 correspond aux zones où la parabole est AU-DESSUS de la droite : x < −2 ou x > 2. Idée forte : équation = points communs (abscisses ponctuelles) ; inéquation = comparaison de hauteur des deux courbes (intervalle). Points de vigilance : distinguer « sous » (< ) et « au-dessus » (> ) ; donner un INTERVALLE pour une inéquation (pas un nombre isolé) ; s'appuyer sur les points d'intersection comme bornes.

Cette technique boucle avec la lecture graphique d'images, d'antécédents et de variations (concept 5).

Le cours

RÉSOLUTION GRAPHIQUE D'ÉQUATIONS ET D'INÉQUATIONS. À L'INTERSECTION DE DEUX COURBES. On peut résoudre des équations et des inéquations en comparant DEUX courbes tracées dans le même repère.

UNE ÉQUATION : DES POINTS COMMUNS. Résoudre x² = 4 revient à chercher les points où la parabole y = x² et la droite horizontale y = 4 se rencontrent, c'est-à-dire leurs POINTS D'INTERSECTION. On lit les ABSCISSES de ces points : (−2 ; 4) et (2 ; 4), donc les solutions sont x = −2 et x = 2. UNE INÉQUATION : UNE PORTION DE COURBE.

Résoudre x² < 4 revient à chercher les x pour lesquels la parabole est SOUS la droite y = 4 (l'ordonnée x² est plus petite que 4). Sur le graphique, la parabole passe sous la droite ENTRE ses deux points d'intersection : la solution est l'INTERVALLE −2 < x < 2. À L'INVERSE. Pour x² > 4, on cherche là où la parabole est AU-DESSUS de la droite : ce sont les deux zones extérieures aux points d'intersection, soit x < −2 ou x > 2. MÉTHODE GÉNÉRALE. (1) Pour une équation, on lit les abscisses des points communs (valeurs précises). (2) Pour une inéquation, on compare la hauteur des deux courbes et on lit un INTERVALLE (au-dessus ou en dessous).

Les points d'intersection servent de BORNES. Points de vigilance. (1) Bien distinguer « sous » (inférieur, < ) et « au-dessus » (supérieur, > ). (2) Une inéquation a pour solution un intervalle, pas un seul nombre. (3) Les bornes de l'intervalle sont les abscisses des points d'intersection. À retenir : équation x² = 4 = points communs de y = x² et y = 4 (x = −2 et 2) ; inéquation x² < 4 = parabole sous la droite (−2 < x < 2) ; x² > 4 = parabole au-dessus (x < −2 ou x > 2).

Les erreurs fréquentes

On résout l'inéquation x² < 4 en donnant un seul nombre (par exemple « x = 2 ») au lieu d'un intervalle.

Une inéquation a pour solution un ENSEMBLE de valeurs, un intervalle. Pour x² < 4, la parabole est sous la droite y = 4 entre les deux points d'intersection : la solution est −2 < x < 2 (tous les nombres entre −2 et 2), pas un seul.

On confond « sous la droite » (inférieur) et « au-dessus de la droite » (supérieur).

x² < 4 signifie que la parabole est SOUS la droite y = 4 : cela se produit ENTRE les points d'intersection (−2 < x < 2). Au contraire, x² > 4 correspond à la parabole AU-DESSUS de la droite : les zones extérieures x < −2 ou x > 2.

On oublie que les abscisses des points d'intersection sont les bornes de l'intervalle solution.

Les points d'intersection de y = x² et y = 4 sont (−2 ; 4) et (2 ; 4). Leurs abscisses, −2 et 2, servent de BORNES : ce sont elles qui délimitent l'intervalle −2 < x < 2 de l'inéquation x² < 4.

Tu maîtrises la notion si…

• Résoudre graphiquement x² = 4 comme les points communs de y = x² et y = 4 (x = −2 et x = 2).
• Résoudre graphiquement l'inéquation x² < 4 en lisant l'intervalle où la parabole est sous la droite : −2 < x < 2.
• Distinguer une portion « sous » (inférieur) d'une portion « au-dessus » (supérieur) d'une droite.
• Utiliser les abscisses des points d'intersection comme bornes de l'intervalle solution.

Vérifie que tu as compris

1. Résoudre x² = 4 revient à lire les abscisses des points d'intersection de…

   Réponse la parabole y = x² et la droite y = 4

   x² = 4 signifie que les deux courbes y = x² et y = 4 ont la même ordonnée : on lit les abscisses de leurs points communs, x = −2 et x = 2.

2. Par lecture graphique, quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation x² < 4 ?

   Réponse −2 < x < 2

   x² < 4 correspond aux abscisses où la parabole est SOUS la droite y = 4, c'est-à-dire entre les deux points d'intersection : −2 < x < 2.

3. Les solutions de x² > 9 se lisent là où la parabole est :

   Réponse au-dessus de la droite y = 9

   x² > 9 signifie que l'ordonnée de la parabole dépasse celle de la droite y = 9 : on lit les abscisses où la courbe passe au-dessus de cette droite, c'est-à-dire x < −3 ou x > 3. Sous la droite, on lirait au contraire x² < 9.