Résoudre ax + b = cx + d

L'essentiel

Parfois il y a des x à gauche ET à droite : 5x + 2 = 3x + 8. On commence par mettre tous les x du même côté. Pour cela, on enlève 3x des deux côtés : il reste 2x + 2 = 8. Ensuite, on enlève 2 : 2x = 6, puis on divise par 2 : x = 3. On vérifie : 5 × 3 + 2 = 17 et 3 × 3 + 8 = 17, c'est bien égal.

Comprendre

Certaines équations ont l'inconnue dans les deux membres, comme 5x + 2 = 3x + 8. On ne peut pas isoler x tant qu'il figure à gauche et à droite : la première étape consiste donc à rassembler les termes en x d'un seul côté et les nombres de l'autre. On utilise toujours la même règle : effectuer la même opération sur les deux membres. Ici, on soustrait 3x des deux côtés pour faire disparaître le 3x de droite : 5x − 3x + 2 = 8, soit 2x + 2 = 8. On se ramène alors à une équation ax + b = c déjà connue : on soustrait 2 (2x = 6), puis on divise par 2 (x = 3).

La vérification confirme : pour x = 3, le membre de gauche vaut 5 × 3 + 2 = 17, le membre de droite 3 × 3 + 8 = 17 ; les deux sont égaux. Le choix du terme en x à déplacer est libre, mais il est plus simple de soustraire le plus petit coefficient (ici 3x) pour garder un coefficient positif devant x. Les erreurs fréquentes : oublier de soustraire aussi le terme constant du même côté, ou se tromper de signe en déplaçant un terme.

Autre exemple : 7x − 1 = 4x + 11 donne, en soustrayant 4x, 3x − 1 = 11, puis 3x = 12 et x = 4.

Le cours

Une équation peut avoir l'inconnue dans ses deux membres : c'est le cas de ax + b = cx + d, par exemple 5x + 2 = 3x + 8. La stratégie est de se ramener au cas connu ax + b = c en rassemblant d'abord les termes en x d'un seul côté. On applique la même règle que toujours : la même opération sur les deux membres. Étape 1 : on soustrait 3x des deux membres (on choisit le plus petit coefficient en x pour rester positif), ce qui élimine le 3x de droite : 5x − 3x + 2 = 3x − 3x + 8, soit 2x + 2 = 8. On est revenu à une équation du type ax + b = c.

Étape 2 : on soustrait 2 des deux côtés : 2x = 6. Étape 3 : on divise par 2 : x = 3. Vérification indispensable, car les deux membres contiennent x : pour x = 3, à gauche 5 × 3 + 2 = 17 et à droite 3 × 3 + 8 = 17 ; l'égalité est vérifiée. Un second exemple : 7x − 1 = 4x + 11. On soustrait 4x : 3x − 1 = 11, puis on ajoute 1 : 3x = 12, et on divise par 3 : x = 4 (vérification : 7 × 4 − 1 = 27 = 4 × 4 + 11). Les pièges classiques sont le signe lors du déplacement d'un terme et l'oubli de traiter le terme constant.

Vérifier la solution en remplaçant x reste le meilleur moyen de valider le résultat.

Les erreurs fréquentes

On enlève 3x d'un seul membre : 5x + 2 = 3x + 8 « donne » 2x + 2 = 3x + 8.

On soustrait 3x des DEUX membres : 5x − 3x + 2 = 3x − 3x + 8, soit 2x + 2 = 8.

On se trompe de signe en déplaçant le terme en x, ou on oublie de traiter le terme constant.

Soustraire 3x des deux côtés élimine bien le 3x de droite ; puis on soustrait 2 pour isoler 2x = 6.

Tu maîtrises la notion si…

• Rassembler les termes en x d'un seul côté en soustrayant le même terme des deux membres.
• Se ramener à ax + b = c puis isoler x.
• Résoudre 5x + 2 = 3x + 8 (x = 3) et vérifier que les deux membres sont égaux.

Vérifie que tu as compris

1. Résous 5x + 2 = 3x + 8.

   Réponse x = 3

   On soustrait 3x des deux côtés : 2x + 2 = 8. Puis 2x = 6, donc x = 3. Vérification : 5 × 3 + 2 = 17 et 3 × 3 + 8 = 17.

2. Résous 7x − 1 = 4x + 11.

   Réponse x = 4

   On soustrait 4x des deux côtés : 3x − 1 = 11. Puis 3x = 12, donc x = 4. Vérification : 7 × 4 − 1 = 27 et 4 × 4 + 11 = 27.

3. Dans 6x + 1 = 2x + 9, que soustrait-on aux deux membres pour rassembler les termes en x à gauche ?

   Réponse 2x

   Pour faire disparaître le terme en x du membre de droite, on soustrait 2x des DEUX membres : 6x − 2x + 1 = 9, soit 4x + 1 = 9. On se ramène ainsi à une équation ax + b = c : 4x = 8, donc x = 2 (vérification : 6 × 2 + 1 = 13 et 2 × 2 + 9 = 13).