Mettre un problème en équation — 4ᵉ

L'essentiel

Pour résoudre un problème avec une équation, on suit quatre étapes : (1) on choisit l'inconnue (on appelle x le nombre cherché), (2) on traduit chaque phrase en maths, (3) on résout l'équation, (4) on vérifie avec l'énoncé. Exemple : « un nombre augmenté de 5 égale son double diminué de 3 ». On pose x + 5 = 2x − 3. On résout : x = 8. Vérification : 8 + 5 = 13 et 2 × 8 − 3 = 13.

Comprendre

Beaucoup de problèmes se résolvent en les traduisant en équation. La démarche comporte quatre étapes. D'abord, on choisit l'inconnue : on note x la quantité cherchée et on précise ce qu'elle représente.

Ensuite, on traduit l'énoncé, phrase par phrase, en une équation : chaque expression du français correspond à une écriture mathématique (« augmenté de 5 » → + 5, « son double » → 2x, « diminué de 3 » → − 3, « égale » → =). Prenons : « un nombre augmenté de 5 égale son double diminué de 3 ». En appelant x ce nombre, « un nombre augmenté de 5 » s'écrit x + 5, et « son double diminué de 3 » s'écrit 2x − 3 ; l'équation est donc x + 5 = 2x − 3. Troisième étape, on résout : on soustrait x des deux côtés (5 = x − 3), puis on ajoute 3 (x = 8).

Dernière étape, on vérifie que la réponse a du sens dans l'énoncé : 8 + 5 = 13 et 2 × 8 − 3 = 13, les deux valeurs coïncident, donc le nombre cherché est 8. Le point le plus délicat est la traduction : il faut lire attentivement pour distinguer, par exemple, « augmenté de 5 » (x + 5) de « multiplié par 5 » (5x). Vérifier la cohérence de la réponse avec la question est indispensable pour valider le résultat.

Le cours

Mettre un problème en équation permet de résoudre méthodiquement une situation décrite avec des mots. On suit quatre étapes. Étape 1 : choisir l'inconnue.

On donne un nom, souvent x, à la quantité cherchée, en indiquant clairement ce qu'elle désigne. Étape 2 : traduire l'énoncé en équation. On transforme chaque morceau de phrase en écriture mathématique : « la somme », « augmenté de » donnent une addition ; « diminué de », « de moins » une soustraction ; « le double », « le triple » une multiplication par 2 ou 3 ; « égale », « est égal à » le signe =.

Étape 3 : résoudre l'équation obtenue avec les méthodes du chapitre. Étape 4 : vérifier que la solution répond bien à la question et est cohérente avec l'énoncé. Exemple : « un nombre augmenté de 5 égale son double diminué de 3 ».

On pose x = le nombre cherché. Traduction : x + 5 = 2x − 3. Résolution : on soustrait x des deux membres (5 = x − 3), puis on ajoute 3 (x = 8). Vérification : 8 + 5 = 13 et 2 × 8 − 3 = 13 ; les deux membres sont égaux, donc le nombre est 8. La principale difficulté est la traduction : « augmenté de 5 » (x + 5) ne doit pas être confondu avec « multiplié par 5 » (5x), ni « son double diminué de 3 » (2x − 3) avec « le double de sa diminution de 3 » (2(x − 3)).

Une lecture précise de l'énoncé et une vérification finale garantissent un résultat fiable.

Les erreurs fréquentes

On traduit mal l'énoncé : « augmenté de 5 » est écrit 5x au lieu de x + 5.

« augmenté de 5 » signifie qu'on ajoute 5 : x + 5. « multiplié par 5 » donnerait 5x. Il faut lire précisément.

On donne la solution sans vérifier qu'elle est cohérente avec l'énoncé.

On remplace toujours dans le problème : pour x = 8, 8 + 5 = 13 et 2 × 8 − 3 = 13 ; la réponse est validée.

Tu maîtrises la notion si…

• Choisir l'inconnue et traduire un énoncé en équation.
• Résoudre l'équation obtenue.
• Vérifier que la solution répond à la question (x + 5 = 2x − 3 → x = 8, vérif 13 = 13).

Vérifie que tu as compris

1. « Un nombre augmenté de 5 égale son double diminué de 3. » Quelle équation traduit cet énoncé ?

   Réponse x + 5 = 2x − 3

   « Un nombre augmenté de 5 » se traduit par x + 5 ; « son double diminué de 3 » par 2x − 3 ; « égale » par le signe =. D'où x + 5 = 2x − 3.

2. « Un nombre augmenté de 5 égale son double diminué de 3. » Quel est ce nombre ?

   Réponse 8

   L'équation est x + 5 = 2x − 3. On soustrait x : 5 = x − 3, puis on ajoute 3 : x = 8. Vérification : 8 + 5 = 13 et 2 × 8 − 3 = 13.

3. On note x un nombre. Traduis par une équation : « son triple, diminué de 2, vaut 16 ».

   Réponse 3x − 2 = 16

   « Son triple » se traduit par 3x, « diminué de 2 » par − 2 et « vaut » par le signe = : l'équation est 3x − 2 = 16 (elle donne 3x = 18, donc x = 6). Écrire 3(x − 2) reviendrait à diminuer le nombre AVANT de le tripler, ce qui n'est pas l'énoncé.