Équations avec parenthèses

En une phrase

Devant une parenthèse, on développe avant de résoudre. Exemple : 2(x + 3) = 10. On développe 2(x + 3) = 2x + 6, donc 2x + 6 = 10 ; puis 2x = 4 et x = 2. Si l'inconnue est aussi de l'autre côté, on développe puis on rassemble les x : 3(x − 1) = x + 5 → 3x − 3 = x + 5 → 2x = 8 → x = 4.

Comprendre

Une équation peut contenir des parenthèses, comme 2(x + 3) = 10. On ne peut pas isoler x directement : il faut d'abord supprimer les parenthèses en développant grâce à la distributivité, k(a + b) = ka + kb. Ici, 2(x + 3) = 2 × x + 2 × 3 = 2x + 6 ; l'équation devient 2x + 6 = 10, que l'on sait résoudre : on soustrait 6 (2x = 4), puis on divise par 2 (x = 2). Vérification : 2 × (2 + 3) = 2 × 5 = 10. L'erreur la plus fréquente est d'oublier de multiplier le second terme de la parenthèse (écrire 2x + 3 au lieu de 2x + 6).

Lorsque l'inconnue figure aussi de l'autre côté, on développe d'abord, puis on rassemble les termes en x : par exemple 3(x − 1) = x + 5 devient 3x − 3 = x + 5 ; on soustrait x (2x − 3 = 5), on ajoute 3 (2x = 8) et on divise par 2 (x = 4). Vérification : 3 × (4 − 1) = 9 et 4 + 5 = 9. L'ordre est donc toujours le même : développer, réduire si besoin, puis isoler l'inconnue, et enfin vérifier.

Le cours

Certaines équations contiennent des parenthèses, comme 2(x + 3) = 10 ou 3(x − 1) = x + 5. La règle est simple : on développe d'abord les parenthèses avec la distributivité, puis on résout l'équation obtenue avec les méthodes déjà connues. Rappel de la distributivité : k(a + b) = ka + kb, donc le facteur devant la parenthèse multiplie chaque terme. Exemple 1 : 2(x + 3) = 10. On développe le membre de gauche : 2(x + 3) = 2 × x + 2 × 3 = 2x + 6. L'équation devient 2x + 6 = 10. On soustrait 6 des deux côtés : 2x = 4, puis on divise par 2 : x = 2. Vérification : 2 × (2 + 3) = 2 × 5 = 10. Il faut absolument multiplier TOUS les termes de la parenthèse : écrire 2x + 3 (en oubliant 2 × 3) est l'erreur la plus courante.

Exemple 2, avec l'inconnue des deux côtés : 3(x − 1) = x + 5. On développe : 3x − 3 = x + 5. On rassemble les x en soustrayant x des deux membres : 2x − 3 = 5, puis on ajoute 3 : 2x = 8, et on divise par 2 : x = 4. Vérification : 3 × (4 − 1) = 9 et 4 + 5 = 9. La méthode générale est donc : développer, réduire, rassembler l'inconnue, isoler x, vérifier.

Les erreurs fréquentes

On oublie de développer le second terme : 2(x + 3) = 10 « donne » 2x + 3 = 10.

Le facteur multiplie chaque terme : 2(x + 3) = 2x + 6, donc 2x + 6 = 10 et x = 2.

On résout avant de développer, ou on oublie de rassembler l'inconnue quand elle est des deux côtés.

On développe d'abord (3(x − 1) = 3x − 3), puis on rassemble les x : 3x − 3 = x + 5 → 2x = 8 → x = 4.

Tu maîtrises la notion si…

• Développer une parenthèse avant de résoudre (distributivité).
• Résoudre l'équation obtenue, y compris avec l'inconnue des deux côtés.
• Résoudre 2(x + 3) = 10 (x = 2) et 3(x − 1) = x + 5 (x = 4), puis vérifier.

Vérifie que tu as compris

1. Résous 2(x + 3) = 10.

   Réponse x = 2

   On développe d'abord : 2(x + 3) = 2x + 6, donc 2x + 6 = 10. Puis 2x = 4 et x = 2. Vérification : 2 × (2 + 3) = 2 × 5 = 10.

2. Résous 3(x − 1) = x + 5.

   Réponse x = 4

   On développe : 3(x − 1) = 3x − 3, donc 3x − 3 = x + 5. On soustrait x : 2x − 3 = 5, puis 2x = 8 et x = 4. Vérification : 3 × (4 − 1) = 9 et 4 + 5 = 9.

3. Pour résoudre 5(x + 4) = 35, on commence par développer. Que devient le membre de gauche ?

   Réponse 5x + 20

   La distributivité multiplie CHAQUE terme de la parenthèse : 5(x + 4) = 5 × x + 5 × 4 = 5x + 20. L'équation devient 5x + 20 = 35, d'où 5x = 15 et x = 3. Écrire 5x + 4, en oubliant de multiplier le 4, est l'erreur la plus fréquente.