Équation, inconnue, solution : tester une valeur

L'essentiel

Une équation, c'est une égalité avec un nombre mystère x. Une solution est une valeur de x qui rend les deux côtés égaux. Pour tester si un nombre est solution, on le remplace partout à la place de x et on calcule chaque côté.

Exemple : dans 3x + 1 = 10, si x = 3 alors 3 × 3 + 1 = 10 : l'égalité est vraie, donc 3 est solution. Si x = 2 alors 3 × 2 + 1 = 7, et 7 ≠ 10 : 2 n'est pas solution.

Comprendre

Une équation est une égalité dans laquelle figure une lettre inconnue, presque toujours notée x. Elle possède deux membres : celui de gauche (à gauche du signe =) et celui de droite. Résoudre l'équation, c'est trouver la ou les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie ; ces valeurs sont les solutions.

Avant même de savoir résoudre, on doit savoir tester : remplacer x par un nombre donné et vérifier si l'égalité est vérifiée. Par exemple, pour l'équation 3x + 1 = 10, tester x = 3 revient à calculer le membre de gauche avec x = 3 : 3 × 3 + 1 = 9 + 1 = 10. On obtient 10, qui est exactement le membre de droite : l'égalité est vraie, donc x = 3 est solution. En revanche, pour x = 2, le membre de gauche vaut 3 × 2 + 1 = 7, différent de 10 : l'égalité est fausse, donc x = 2 n'est pas solution.

Deux points de vigilance : il faut remplacer x par la valeur DANS CHAQUE terme où x apparaît, et respecter les priorités opératoires (la multiplication 3 × x avant l'addition). Tester est l'outil de base du chapitre : il donne le sens du mot « solution » et permet ensuite de vérifier tout résultat de résolution.

Le cours

Une équation est une égalité entre deux expressions qui contient une inconnue, le plus souvent la lettre x. Le membre de gauche et le membre de droite sont séparés par le signe =. Résoudre une équation, c'est déterminer toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie : ce sont les solutions de l'équation.

Avant d'apprendre à résoudre, il est essentiel de comprendre ce que signifie « être solution », et pour cela on apprend à tester une valeur. Tester un nombre, c'est le substituer à x dans toute l'équation, puis calculer séparément chaque membre en respectant les priorités opératoires. Si les deux membres donnent le même résultat, l'égalité est vraie et le nombre est solution ; sinon, il ne l'est pas.

Prenons l'équation 3x + 1 = 10. Pour tester x = 3, on remplace : 3 × 3 + 1 = 9 + 1 = 10. On trouve 10, égal au membre de droite : x = 3 est donc solution. Pour tester x = 2 : 3 × 2 + 1 = 6 + 1 = 7, et 7 ≠ 10, donc x = 2 n'est pas solution. Il faut faire attention à deux erreurs classiques : oublier de remplacer x dans le terme 3x (et n'ajouter que 1), et ne pas respecter les priorités (faire 3 + 1 avant la multiplication).

Savoir tester est indispensable, car c'est aussi ce qui permettra, plus tard, de vérifier qu'une solution obtenue par résolution est correcte.

Les erreurs fréquentes

On calcule une équation comme une expression, sans chercher de valeur de x.

Une équation se résout : on cherche la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. On peut d'abord tester des valeurs pour comprendre.

En testant, on oublie de remplacer x dans le produit 3x : avec x = 3, on écrit « 3 + 1 = 4 » au lieu de 3 × 3 + 1.

On remplace x partout : 3x devient 3 × 3 = 9, d'où 9 + 1 = 10.

On ne respecte pas les priorités : avec x = 3, on calcule 3 + 1 = 4 puis 4 × 3 = 12.

La multiplication passe avant l'addition : 3 × 3 + 1 = 9 + 1 = 10, et non 3 × (3 + 1) = 12.

Tu maîtrises la notion si…

• Identifier l'inconnue et les deux membres d'une équation.
• Tester un nombre en le substituant à x et en comparant les deux membres.
• Conclure : solution si l'égalité est vraie (3x + 1 = 10 avec x = 3), sinon non.

Vérifie que tu as compris

1. Le nombre x = 3 est-il solution de 3x + 1 = 10 ?

   Réponse Oui, car 3 × 3 + 1 = 10

   Tester, c'est remplacer x par 3 : 3 × 3 + 1 = 9 + 1 = 10. Le résultat est égal à 10, donc l'égalité est vraie et x = 3 est bien solution.

2. Parmi ces nombres, lequel est solution de 2x − 1 = 9 ?

   Réponse x = 5

   On teste x = 5 : 2 × 5 − 1 = 10 − 1 = 9. L'égalité est vraie, donc x = 5 est solution. (Pour x = 4 : 2 × 4 − 1 = 7 ≠ 9.)

3. Un élève teste x = 2 dans 4x + 3 = 11 : il écrit « 4 + 2 + 3 = 9 », donc x = 2 n'est pas solution. Où est son erreur ?

   Réponse il a oublié la multiplication : 4 × 2 + 3 = 11, donc 2 est solution

   Tester une valeur, c'est remplacer x en respectant les priorités : 4x signifie 4 × x, donc 4 × 2 + 3 = 8 + 3 = 11. On retrouve exactement le membre de droite, donc x = 2 est bien solution. L'élève a additionné 4 et 2 au lieu de les multiplier.