Résoudre ax + b = c

L'essentiel

Pour résoudre ax + b = c, on « démonte » l'équation en gardant l'équilibre : tout ce qu'on fait à gauche, on le fait aussi à droite. On enlève d'abord le nombre ajouté (b), puis on divise par le nombre devant x (a). Exemple : 3x + 1 = 10 → on enlève 1 des deux côtés → 3x = 9 → on divise par 3 → x = 3. Autre exemple : 2x − 5 = 7 → on ajoute 5 → 2x = 12 → on divise par 2 → x = 6.

Comprendre

Une équation du premier degré du type ax + b = c se résout en isolant l'inconnue x, c'est-à-dire en la laissant seule d'un côté du signe =. Le principe fondamental est qu'on peut effectuer la même opération sur les deux membres sans changer les solutions : c'est l'image de la balance qui reste en équilibre si on ajoute ou retire la même chose des deux plateaux. On procède dans l'ordre inverse des opérations : d'abord on supprime le terme constant b (en soustrayant b, ou en ajoutant son opposé), puis on supprime le coefficient a (en divisant les deux membres par a).

Exemple : 3x + 1 = 10. On soustrait 1 des deux côtés : 3x = 9. Puis on divise par 3 : x = 3. On vérifie toujours en remplaçant : 3 × 3 + 1 = 10, c'est correct. Autre exemple avec une soustraction : 2x − 5 = 7. Ici b = −5, donc pour l'éliminer on ajoute 5 : 2x = 12, puis on divise par 2 : x = 6 (vérification : 2 × 6 − 5 = 7). Le point délicat est le signe de b : « − 5 » s'annule en ajoutant 5, « + 1 » s'annule en soustrayant 1. Isoler l'inconnue dans le bon ordre et vérifier la solution sont les deux réflexes à installer.

Le cours

Résoudre une équation du premier degré ax + b = c consiste à isoler l'inconnue x. La règle d'or : on peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre (non nul pour la division) sans modifier les solutions. C'est le modèle de la balance en équilibre : ce qu'on fait d'un côté, on le fait de l'autre.

On applique les opérations dans l'ordre inverse de celui qui a « construit » l'expression : on élimine d'abord le terme constant, puis le coefficient de x. Exemple 1 : 3x + 1 = 10. Étape 1, on soustrait 1 des deux membres : 3x + 1 − 1 = 10 − 1, soit 3x = 9. Étape 2, on divise les deux membres par 3 : x = 9 ÷ 3 = 3. On vérifie : 3 × 3 + 1 = 10, l'égalité est vraie, donc x = 3 est bien la solution. Exemple 2 : 2x − 5 = 7. Le terme constant est −5 ; pour l'éliminer, on ajoute 5 : 2x = 12. On divise ensuite par 2 : x = 6 (vérification : 2 × 6 − 5 = 7).

Les erreurs les plus fréquentes concernent le signe (soustraire au lieu d'ajouter, ou l'inverse) et l'ordre des opérations (diviser avant d'avoir enlevé le terme constant). Terminer par une vérification en remplaçant x par la valeur trouvée est un réflexe qui permet de détecter toute erreur.

Les erreurs fréquentes

On divise par a avant d'avoir enlevé le terme constant : 3x + 1 = 10 « donne » x + 1 = 10 ÷ 3.

On enlève d'abord le terme constant : 3x = 9, PUIS on divise par 3 : x = 3.

On se trompe de signe pour éliminer b : dans 2x − 5 = 7 on soustrait 5 au lieu d'ajouter 5.

Pour annuler « − 5 », on ajoute 5 des deux côtés : 2x = 12, donc x = 6.

Tu maîtrises la notion si…

• Enlever le terme constant en effectuant la même opération sur les deux membres.
• Diviser les deux membres par le coefficient de x pour isoler x.
• Résoudre 3x + 1 = 10 (x = 3) et 2x − 5 = 7 (x = 6) et vérifier la solution.

Vérifie que tu as compris

1. Résous 3x + 1 = 10.

   Réponse x = 3

   On soustrait 1 des deux côtés : 3x = 9. Puis on divise par 3 : x = 3. Vérification : 3 × 3 + 1 = 10.

2. Résous 2x − 5 = 7.

   Réponse x = 6

   On ajoute 5 des deux côtés : 2x = 12. Puis on divise par 2 : x = 6. Vérification : 2 × 6 − 5 = 12 − 5 = 7.

3. Pour résoudre 4x + 5 = 21, quelle opération applique-t-on d'abord aux deux membres ?

   Réponse soustraire 5

   On enlève d'abord le terme constant : en soustrayant 5 des deux membres, 4x + 5 = 21 devient 4x = 16. On divise SEULEMENT ensuite par 4, ce qui donne x = 4 (vérification : 4 × 4 + 5 = 21). L'erreur classique est de ne diviser QUE le terme en x, en écrivant x + 5 = 21 ÷ 4 : diviser les DEUX membres par 4 avant d'avoir enlevé le 5 est licite, mais oblige à travailler avec des fractions.