Reconnaître la proportionnalité

En une phrase

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on obtient la seconde en multipliant toujours la première par le même nombre. Pour le vérifier dans un tableau, tu peux comparer les rapports de chaque colonne : s'ils sont tous égaux, c'est proportionnel.

Comprendre

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant TOUJOURS par le même nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité. Prends un exemple : 2 kg de pommes coûtent 6 €, 3 kg coûtent 9 €, 5 kg coûtent 15 €.

Pour passer de la masse au prix, on multiplie à chaque fois par 3 : 2 × 3 = 6, 3 × 3 = 9, 5 × 3 = 15. Le coefficient est 3 (c'est le prix d'un kilo). Comme c'est le MÊME nombre pour toutes les colonnes, la situation est proportionnelle. Une autre façon de vérifier consiste à comparer les rapports prix ÷ masse de chaque colonne : 6/2 = 3, 9/3 = 3, 15/5 = 3. Tous égaux : c'est proportionnel.

Attention au piège le plus fréquent : ajouter toujours le même nombre n'est PAS de la proportionnalité. Par exemple 2 → 7, 3 → 8, 5 → 10 : ici on ajoute 5 à chaque fois. Les rapports 7/2 = 3,5 ; 8/3 ≈ 2,67 ; 10/5 = 2 ne sont pas égaux : ce n'est donc pas proportionnel.

Retiens l'idée clé : proportionnel = MULTIPLIER toutes les valeurs par un même nombre (ajouter toujours le même nombre à chaque valeur n'est pas de la proportionnalité).

Le cours

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité. On présente souvent les données dans un tableau de proportionnalité, à deux lignes. Exemple : masse (en kg) 2 ; 3 ; 5 et prix (en €) 6 ; 9 ; 15. On passe de la masse au prix en multipliant par 3 à chaque colonne (2 × 3 = 6, 3 × 3 = 9, 5 × 3 = 15) : la situation est proportionnelle, de coefficient 3. Pour reconnaître la proportionnalité, deux tests équivalents existent.

Premier test : les rapports d'une même colonne sont tous égaux (6/2 = 9/3 = 15/5 = 3). Second test, le produit en croix : dans un tableau proportionnel, le produit des nombres d'une diagonale est égal au produit de l'autre diagonale (par exemple 2 × 9 = 3 × 6 = 18). Si un seul rapport diffère, ou si les produits en croix ne sont pas égaux, la situation n'est pas proportionnelle.

L'erreur la plus répandue est de croire qu'ajouter toujours le même nombre suffit : dans 2 → 7 ; 3 → 8 ; 5 → 10, on ajoute 5, mais les rapports (7/2 = 3,5 ; 8/3 ≈ 2,67 ; 10/5 = 2) sont différents, donc ce n'est pas proportionnel. La proportionnalité repose sur un coefficient multiplicateur : ajouter toujours le même nombre n'est pas proportionnel.

Les erreurs fréquentes

On croit qu'ajouter toujours le même nombre est de la proportionnalité (2 → 7, 3 → 8, 5 → 10, on ajoute 5).

La proportionnalité, c'est MULTIPLIER par un même nombre, pas additionner. Ici les rapports 7/2 = 3,5 et 8/3 ≈ 2,67 diffèrent : ce n'est pas proportionnel.

On vérifie une seule colonne et on conclut trop vite que le tableau est proportionnel.

Il faut que TOUS les rapports soient égaux (ou vérifier le produit en croix). Un seul rapport différent suffit à casser la proportionnalité.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer qu'une situation est proportionnelle quand on multiplie toujours par le même nombre (le coefficient).
• Vérifier la proportionnalité d'un tableau par l'égalité des rapports (6/2 = 9/3 = 15/5 = 3) ou le produit en croix.
• Distinguer une situation proportionnelle (×k) d'une situation additive (+ un nombre), non proportionnelle.

Vérifie que tu as compris

1. Le tableau suivant est-il une situation de proportionnalité ? 2 → 6 ; 3 → 9 ; 5 → 15.

   Réponse Oui, on multiplie toujours par 3

   On passe de chaque valeur à l'autre en multipliant par le même nombre : 6/2 = 9/3 = 15/5 = 3. Le coefficient est 3, donc c'est proportionnel.

2. Le tableau 2 → 7 ; 3 → 8 ; 5 → 10 est-il proportionnel ?

   Réponse Non : 7/2, 8/3 et 10/5 ne sont pas égaux

   Ici on ajoute 5 (2+5=7, 3+5=8, 5+5=10) : ajouter un nombre n'est pas multiplier. Les rapports 7/2 = 3,5 ; 8/3 ≈ 2,67 ; 10/5 = 2 sont différents, donc ce n'est pas proportionnel.

3. Pour un carré, le périmètre est-il proportionnel à la longueur du côté ?

   Réponse Oui : périmètre = côté × 4, le coefficient 4 ne change jamais

   On passe du côté au périmètre en multipliant toujours par 4 : un côté de 3 cm donne 12 cm, un côté de 5 cm donne 20 cm. Le coefficient 4 ne change jamais, donc c'est proportionnel. L'aire (côté × côté), elle, ne l'est pas.