Coefficient & quatrième proportionnelle

En une phrase

Le coefficient de proportionnalité, c'est le nombre par lequel on multiplie pour passer d'une grandeur à l'autre. Une fois que tu le connais, tu peux trouver n'importe quelle valeur manquante. Tu peux aussi passer par le produit en croix.

Comprendre

Dans une situation proportionnelle, le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie une grandeur pour obtenir l'autre. Il se calcule en divisant une valeur d'arrivée par la valeur de départ correspondante. Exemple : 3 kg de pommes coûtent 6 €.

Le coefficient (le prix d'un kilo) est 6 ÷ 3 = 2 €/kg. Pour connaître le prix de 5 kg, on multiplie par ce coefficient : 5 × 2 = 10 €. C'est la méthode du coefficient.

Il existe une seconde méthode très utile quand le coefficient n'est pas simple : le produit en croix. Dans le tableau (3 kg → 6 € ; 5 kg → ?), on écrit l'égalité des rapports 6/3 = ?/5, ce qui donne ? = 6 × 5 ÷ 3 = 30 ÷ 3 = 10 €. On multiplie « en croix » les deux nombres connus placés en diagonale, puis on divise par le troisième.

La valeur manquante ainsi trouvée s'appelle la quatrième proportionnelle. Les deux méthodes donnent bien sûr le même résultat : ici 10 €. On choisit celle qui va le plus vite : le coefficient quand il tombe juste, le produit en croix sinon.

Le cours

Dans un tableau de proportionnalité, le coefficient de proportionnalité est le nombre qui multiplie la première grandeur pour donner la seconde. On l'obtient en divisant une valeur par la valeur correspondante de l'autre ligne. Exemple : 3 kg de pommes coûtent 6 €.

Le coefficient est 6 ÷ 3 = 2 (c'est le prix d'un kilo, en €/kg). Pour calculer le prix de 5 kg, on multiplie par le coefficient : 5 × 2 = 10 €. Chercher une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité revient à calculer une quatrième proportionnelle.

Deux méthodes sont au programme. Méthode du coefficient : on calcule le coefficient, puis on multiplie (ou on divise) par lui. Méthode du produit en croix : à partir du tableau 3 → 6 ; 5 → x, on utilise l'égalité des rapports 6/3 = x/5. On multiplie en croix les deux valeurs connues situées en diagonale et on divise par la troisième : x = (6 × 5) ÷ 3 = 30 ÷ 3 = 10 €.

Le produit en croix est particulièrement pratique lorsque le coefficient n'est pas un nombre entier. Par exemple, si 5 kg coûtent 12 €, le prix de 8 kg est (12 × 8) ÷ 5 = 96 ÷ 5 = 19,20 €. Les deux méthodes conduisent au même résultat ; on choisit la plus rapide selon les nombres.

Remarque de programme : en Cinquième, le programme demande le COEFFICIENT de proportionnalité ; la quatrième proportionnelle et le produit en croix sont des objectifs de Quatrième, découverts ici en avance — ils seront repris et travaillés l'an prochain.

Les erreurs fréquentes

On additionne au lieu de multiplier : « 3 kg → 6 €, donc 5 kg → 6 + 2 = 8 € » (on ajoute la différence de masse).

Il faut multiplier par le coefficient : coefficient = 6 ÷ 3 = 2, puis 5 × 2 = 10 €.

Dans le produit en croix, on multiplie les mauvais nombres ou on oublie de diviser (6 × 3 = 18).

On multiplie les deux valeurs connues en diagonale puis on divise par la troisième : (6 × 5) ÷ 3 = 10 €.

Tu maîtrises la notion si…

• Calculer le coefficient de proportionnalité en divisant une valeur par la valeur correspondante (6 ÷ 3 = 2).
• Trouver une valeur manquante en multipliant par le coefficient (5 × 2 = 10 €).
• Calculer une quatrième proportionnelle par le produit en croix : (6 × 5) ÷ 3 = 10.

Vérifie que tu as compris

1. 3 kg de pommes coûtent 6 €. Au même prix, combien coûtent 5 kg ?

   Réponse 10 €

   Le coefficient (prix au kg) est 6 ÷ 3 = 2 €/kg. Pour 5 kg : 5 × 2 = 10 €.

2. 4 stylos identiques coûtent 6 €. Combien coûtent 6 stylos ?

   Réponse 9 €

   Produit en croix : 6 × 6 ÷ 4 = 36 ÷ 4 = 9 €. (Un stylo coûte 6 ÷ 4 = 1,50 €, donc 6 × 1,50 = 9 €.)

3. Un robinet remplit 15 L en 6 minutes. À débit constant, quel volume remplit-il en 10 minutes ?

   Réponse 25 L

   Le débit est 15 ÷ 6 = 2,5 L par minute, donc 10 × 2,5 = 25 L. Par produit en croix : (15 × 10) ÷ 6 = 150 ÷ 6 = 25 L.