Reconnaître / démontrer un parallélogramme

En une phrase

Tu n'as pas besoin de tout vérifier : un seul bon critère suffit à prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme. Le tout est de choisir celui qui correspond aux informations que tu as (côtés, diagonales…).

Comprendre

Reconnaître un parallélogramme, c'est prouver qu'il en est un à partir de données. Il existe pour cela quatre critères, et un seul suffit. Critère 1 : si les côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est un parallélogramme (c'est la définition).

Critère 2 : si les côtés opposés sont égaux deux à deux (AB = CD et AD = BC), c'est un parallélogramme. Critère 3 : si les diagonales se coupent en leur milieu, c'est un parallélogramme. Critère 4 : si DEUX côtés opposés sont à la fois parallèles ET égaux, c'est un parallélogramme.

Ce dernier critère est très pratique, mais attention : il faut les deux conditions à la fois (parallèles ET de même longueur) sur la même paire de côtés ; un seul côté parallèle, ou seulement deux côtés égaux non parallèles, ne suffit pas. La bonne démarche est de regarder ce que l'énoncé donne, puis de choisir le critère qui utilise exactement ces informations : des longueurs de côtés → critère 2 ; un renseignement sur les diagonales → critère 3 ; du parallélisme + une longueur → critère 4. Enfin, chaque critère se rédige en citant la propriété utilisée : « les diagonales se coupent en leur milieu, donc c'est un parallélogramme ».

Le cours

Reconnaître ou démontrer qu'un quadrilatère NON CROISÉ est un parallélogramme revient à vérifier un critère suffisant (la condition « non croisé » est indispensable : sans elle, le critère des côtés opposés de même longueur est en défaut). Il en existe quatre, et un seul suffit à conclure. Critère 1 — côtés opposés parallèles : si (AB) ∥ (CD) et (AD) ∥ (BC), alors ABCD est un parallélogramme (définition).

Critère 2 — côtés opposés égaux : si AB = CD et AD = BC, alors ABCD est un parallélogramme. Critère 3 — diagonales de même milieu : si les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu, alors ABCD est un parallélogramme. Critère 4 — deux côtés parallèles et égaux : si [AB] et [CD] sont à la fois parallèles ET de même longueur, alors ABCD est un parallélogramme.

Méthode. On lit les données de l'énoncé, puis on choisit LE critère qui les utilise : des égalités de longueurs → critère 2 ; une information sur les diagonales → critère 3 ; du parallélisme accompagné d'une égalité de longueur → critère 4. On rédige en citant la propriété. Exemple : « Les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu O ; d'après le critère des diagonales, ABCD est un parallélogramme. » Piège du critère 4 : les deux conditions (parallèle ET égal) doivent porter sur la MÊME paire de côtés opposés ; un seul côté parallèle, ou deux côtés seulement égaux, ne suffit pas.

Les erreurs fréquentes

Croire qu'il faut vérifier tous les critères à la fois pour conclure.

Un seul critère suffit. On choisit celui qui correspond aux informations disponibles (côtés ou diagonales).

Conclure avec le critère 4 alors que les côtés sont seulement parallèles OU seulement égaux.

Le critère 4 exige les DEUX conditions à la fois (parallèles ET de même longueur) sur la même paire de côtés opposés.

Tu maîtrises la notion si…

• Citer les quatre critères qui prouvent qu'un quadrilatère est un parallélogramme.
• Choisir le critère adapté aux données d'un énoncé (côtés ou diagonales).
• Rédiger une courte démonstration en citant la propriété utilisée.

Vérifie que tu as compris

1. Dans le quadrilatère ABCD (non croisé), les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O avec OA = OC = 5 cm et OB = OD = 3 cm. Que peut-on en conclure ?

   Réponse ABCD est un parallélogramme

   Les diagonales se coupent en leur milieu (O est le milieu de [AC] puisque OA = OC, et le milieu de [BD] puisque OB = OD) : c'est exactement le critère qui prouve qu'un quadrilatère non croisé est un parallélogramme. Ce n'est pas un rectangle (il faudrait AC = BD, or 10 ≠ 6) ni forcément un losange (il faudrait les diagonales perpendiculaires).

2. Un quadrilatère a deux côtés opposés à la fois parallèles ET de même longueur. C'est...

   Réponse un parallélogramme

   Si deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur, le quadrilatère est un parallélogramme : c'est un critère suffisant à lui seul.

3. Marc veut démontrer que le quadrilatère KLMN est un parallélogramme. Il a déjà établi que (KL) // (NM). Que lui manque-t-il pour conclure ?

   Réponse montrer aussi que (KN) // (LM)

   Un seul couple de côtés parallèles ne donne qu'un trapèze. Il faut le second couple, (KN) // (LM) — ou bien montrer que [KL] et [NM] sont en plus de même longueur, ce qui suffit aussi.