Le parallélogramme : définition & propriétés

En une phrase

Un parallélogramme, c'est un quadrilatère « penché » dont les côtés d'en face sont parallèles deux à deux. Du coup, les côtés opposés ont la même longueur, et les deux diagonales se croisent pile en leur milieu.

Comprendre

Un parallélogramme se reconnaît d'abord à sa définition : c'est un quadrilatère (quatre côtés) dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Dans ABCD, cela veut dire que (AB) est parallèle à (CD) et que (AD) est parallèle à (BC). De cette seule définition découlent deux propriétés très utiles.

Première propriété : les côtés opposés sont aussi de même longueur. Donc AB = CD et AD = BC. C'est pratique, car si on connaît un côté, on connaît celui d'en face sans le mesurer.

Deuxième propriété : les diagonales [AC] et [BD] se coupent en un même point O, et ce point est le milieu de chacune d'elles. Autrement dit OA = OC et OB = OD. Ce point O est le centre de symétrie du parallélogramme : si on fait un demi-tour autour de O, la figure se retrouve exactement sur elle-même.

Attention à ne pas confondre : les côtés opposés sont égaux, mais les quatre côtés ne sont pas forcément tous égaux ; et les diagonales se coupent en leur milieu, mais elles n'ont pas forcément la même longueur et ne sont pas forcément perpendiculaires (l'égalité des diagonales caractérise le rectangle, leur perpendicularité le losange).

Le cours

Définition. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Dans le parallélogramme ABCD, on a donc (AB) ∥ (CD) et (AD) ∥ (BC).

Propriété des côtés. Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur : AB = CD et AD = BC. Ainsi, connaître un côté donne aussitôt la longueur du côté opposé.

Propriété des diagonales. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : elles se croisent en un point O tel que OA = OC et OB = OD. Ce point O est le centre de symétrie de la figure : par la symétrie centrale de centre O, chaque sommet a pour image le sommet opposé (A ↔ C, B ↔ D).

Exemple : dans un parallélogramme ABCD tel que AB = 6 cm et AD = 4 cm, on sait aussitôt que CD = 6 cm et BC = 4 cm. Si les diagonales se coupent en O avec OA = 5 cm, alors OC = 5 cm. Pièges à éviter : « côtés opposés égaux » ne signifie pas « quatre côtés égaux » (cela ne vaut que pour le losange et le carré) ; « diagonales de même milieu » ne signifie pas « diagonales égales » ni « diagonales perpendiculaires » (ces propriétés distinguent le rectangle et le losange).

Ces propriétés servent à calculer des longueurs, à construire un parallélogramme et, plus tard, à démontrer.

Les erreurs fréquentes

Croire que tous les côtés d'un parallélogramme sont égaux.

Seuls les côtés OPPOSÉS sont égaux (AB = CD et AD = BC). Avoir les quatre côtés égaux caractérise le losange, pas le parallélogramme en général.

Penser que les diagonales d'un parallélogramme sont égales ou perpendiculaires.

Elles se coupent seulement en leur milieu. L'égalité des diagonales caractérise le rectangle, leur perpendicularité le losange.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la définition : un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
• Utiliser l'égalité des côtés opposés (AB = CD, AD = BC) pour donner une longueur sans mesurer.
• Justifier que les diagonales se coupent en leur milieu O, centre de symétrie du parallélogramme.

Vérifie que tu as compris

1. Un parallélogramme est un quadrilatère qui a...

   Réponse ses côtés opposés parallèles

   La définition d'un parallélogramme : un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

2. Dans un parallélogramme ABCD, que peut-on affirmer sur les diagonales [AC] et [BD] ?

   Réponse Elles se coupent en leur milieu

   Dans tout parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu commun O (centre de symétrie). Elles ne sont ni forcément égales, ni forcément perpendiculaires.

3. Dans le parallélogramme ABCD, AB = 9 cm et BC = 4 cm. Combien mesure le côté [CD] ?

   Réponse 9 cm

   Les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur. [CD] est le côté opposé à [AB], donc CD = AB = 9 cm. C'est [AD] qui mesure 4 cm, comme [BC]. 13 cm serait la somme 9 + 4, c'est-à-dire la moitié du périmètre.