Parallélogrammes particuliers

En une phrase

Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes « améliorés ». Le rectangle gagne les angles droits, le losange gagne les côtés tous égaux, et le carré gagne les deux à la fois.

Comprendre

Parmi tous les parallélogrammes, certains ont des propriétés en plus : ce sont les parallélogrammes particuliers. Le rectangle est un parallélogramme qui possède quatre angles droits. Ses côtés opposés restent égaux, mais ses quatre côtés ne sont pas forcément tous de la même longueur.

Le losange est un parallélogramme qui possède quatre côtés égaux. Ses angles opposés restent égaux, mais ils ne sont pas forcément droits. Le carré, enfin, réunit les deux : il a quatre angles droits (comme le rectangle) ET quatre côtés égaux (comme le losange).

C'est pourquoi on dit que le carré est à la fois un rectangle et un losange : carré = rectangle + losange. Ces relations forment un petit arbre d'inclusions : tout carré est un rectangle, tout carré est un losange, et tous (rectangle, losange, carré) sont des parallélogrammes. En revanche, l'inverse est faux : un rectangle n'est pas forcément un carré (ses côtés peuvent être de longueurs différentes), et un losange n'est pas forcément un carré (ses angles ne sont pas forcément droits).

Pour reconnaître la figure, on regarde donc deux choses : les angles sont-ils droits ? les côtés sont-ils tous égaux ? Selon les réponses, on obtient un rectangle, un losange, un carré, ou un parallélogramme quelconque.

Le cours

Les parallélogrammes particuliers ajoutent des propriétés à la définition du parallélogramme. Rectangle : parallélogramme ayant quatre angles droits. Conséquence supplémentaire : ses diagonales ont la même longueur.

Losange : parallélogramme ayant quatre côtés égaux. Conséquence supplémentaire : ses diagonales sont perpendiculaires. Carré : parallélogramme ayant quatre angles droits ET quatre côtés égaux.

C'est donc à la fois un rectangle et un losange : ses diagonales sont à la fois égales et perpendiculaires. Arbre des inclusions : parallélogramme ⊃ rectangle ⊃ carré et parallélogramme ⊃ losange ⊃ carré. Autrement dit, carré = rectangle + losange.

Attention aux implications : tout carré est un rectangle et un losange, mais un rectangle n'est pas forcément un carré (côtés pas tous égaux) et un losange n'est pas forcément un carré (angles pas droits). Méthode de reconnaissance : on teste deux questions — « les angles sont-ils droits ? » et « les côtés sont-ils tous égaux ? ». Angles droits seuls → rectangle ; côtés tous égaux seuls → losange ; les deux → carré ; aucun des deux → parallélogramme quelconque.

Les erreurs fréquentes

Croire qu'un rectangle est forcément un carré (ou qu'un losange est forcément un carré).

Un rectangle n'a pas forcément ses quatre côtés égaux, un losange n'a pas forcément d'angle droit. Seul le carré possède LES DEUX propriétés.

Confondre rectangle et losange.

Le rectangle se définit par ses quatre ANGLES DROITS ; le losange par ses quatre CÔTÉS ÉGAUX. Ce ne sont pas les mêmes propriétés.

Tu maîtrises la notion si…

• Définir le rectangle (4 angles droits), le losange (4 côtés égaux) et le carré (les deux).
• Reconnaître la figure en testant les angles droits et l'égalité des côtés.
• Expliquer les inclusions : carré = rectangle + losange.

Vérifie que tu as compris

1. Un parallélogramme qui a quatre angles droits : quelle est sa nature la plus précise ?

   Réponse rectangle

   Un rectangle est un parallélogramme particulier ayant quatre angles droits — c'est la nature la plus précise. Le losange, lui, a quatre côtés égaux. « Trapèze » n'est pas faux (un parallélogramme a bien deux côtés opposés parallèles), mais c'est beaucoup moins précis.

2. Un parallélogramme qui a quatre côtés égaux ET quatre angles droits est un...

   Réponse un carré

   Le carré cumule les deux propriétés : quatre côtés égaux (comme le losange) et quatre angles droits (comme le rectangle). Il est donc À LA FOIS un rectangle et un losange — les trois autres réponses, qui excluent l'une ou l'autre de ces natures, sont donc fausses.

3. Un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont la même longueur : quelle est sa nature la plus précise ?

   Réponse un losange

   Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont déjà égaux. Si deux côtés CONSÉCUTIFS le sont aussi, les quatre côtés sont égaux : c'est un losange. Il ne devient un carré que s'il possède en plus un angle droit ; « trapèze » n'est pas faux mais beaucoup moins précis.