Le parallélogramme : propriétés des angles

En une phrase

Dans un parallélogramme, les angles qui se font face sont égaux, et deux angles côte à côte se complètent à 180°. Il suffit donc de connaître UN angle pour retrouver tous les autres.

Comprendre

Les angles d'un parallélogramme obéissent à deux règles simples. Règle 1 : les angles opposés (ceux qui se font face) sont égaux. Dans ABCD, l'angle en A est égal à l'angle en C, et l'angle en B est égal à l'angle en D. Règle 2 : deux angles consécutifs (côte à côte, qui partagent un côté) sont supplémentaires, c'est-à-dire que leur somme vaut 180°.

Par exemple l'angle en A et l'angle en B vérifient  + B̂ = 180°. Ces deux règles se combinent : dès qu'on connaît un seul angle, on connaît les quatre. Si  = 70°, alors l'angle opposé Ĉ = 70° aussi ; l'angle consécutif B̂ = 180° − 70° = 110° ; et son opposé D̂ = 110°.

Les quatre angles sont donc 70°, 110°, 70°, 110°. On peut vérifier : leur somme fait 70 + 110 + 70 + 110 = 360°, ce qui est normal car la somme des angles d'un quadrilatère vaut toujours 360°. L'erreur classique consiste à croire que tous les angles sont égaux (ce n'est vrai que pour le rectangle et le carré) ou que les angles consécutifs sont égaux : ils sont supplémentaires, pas égaux, sauf dans le cas particulier où tous valent 90°.

Le cours

Propriété 1 (angles opposés). Dans un parallélogramme ABCD, les angles opposés sont égaux : Â = Ĉ et B̂ = D̂. Propriété 2 (angles consécutifs).

Deux angles consécutifs sont supplémentaires : leur somme vaut 180°. Par exemple  + B̂ = 180°, B̂ + Ĉ = 180°, etc. Conséquence.

Un seul angle connu suffit pour déterminer les trois autres. Méthode : l'angle opposé est égal ; chaque angle consécutif est égal à 180° moins l'angle donné. Exemple.

Si  = 70° dans le parallélogramme ABCD : l'angle opposé Ĉ = 70° ; les angles consécutifs B̂ et D̂ valent 180° − 70° = 110°. Les quatre angles sont 70°, 110°, 70°, 110°, et leur somme fait bien 360° (somme des angles d'un quadrilatère). Vérification utile : la somme des quatre angles d'un parallélogramme est toujours 360°.

Pièges : ne pas confondre « opposés » (égaux) et « consécutifs » (supplémentaires, somme 180°) ; tous les angles ne sont égaux que dans le rectangle et le carré. Ces propriétés permettent de retrouver un angle manquant sans rapporteur et servent de base à de nombreuses démonstrations.

Les erreurs fréquentes

Croire que deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont égaux.

Les angles consécutifs sont SUPPLÉMENTAIRES : leur somme vaut 180°. Ce sont les angles OPPOSÉS qui sont égaux.

Penser que tous les angles d'un parallélogramme valent 90°.

Ce n'est vrai que pour le rectangle et le carré. En général, un parallélogramme a deux angles aigus égaux et deux angles obtus égaux (par ex. 70° et 110°).

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que les angles opposés sont égaux et que les angles consécutifs sont supplémentaires (180°).
• Retrouver les quatre angles d'un parallélogramme à partir d'un seul angle donné.
• Vérifier que la somme des quatre angles vaut 360°.

Vérifie que tu as compris

1. Dans un parallélogramme, deux angles opposés...

   Réponse sont égaux, deux à deux

   Les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux. Ce sont les angles consécutifs qui, eux, sont supplémentaires (somme 180°).

2. Dans un parallélogramme, un angle mesure 70°. Combien mesure un angle qui lui est consécutif ?

   Réponse 110°

   Deux angles consécutifs sont supplémentaires : 180° − 70° = 110°. (L'angle opposé, lui, vaudrait 70°.)

3. Un parallélogramme a un angle de 125°. Que valent ses trois autres angles ?

   Réponse 125°, 55° et 55°

   L'angle OPPOSÉ lui est égal : 125°. Les deux angles CONSÉCUTIFS lui sont supplémentaires : 180 − 125 = 55°. Vérification : 125 + 125 + 55 + 55 = 360°, la somme des angles d'un quadrilatère.