Ratios et partage proportionnel — 4ᵉ

L'essentiel

Un ratio, écrit a:b (on lit « a pour b »), décrit une répartition : pour a d'un côté, il y a b de l'autre. Partager une quantité selon un ratio, c'est la découper en parts TOUTES ÉGALES. Le nombre de parts est a + b.

Exemple : partager 50 € selon le ratio 2:3. On compte 2 + 3 = 5 parts égales ; la valeur d'une part est 50 ÷ 5 = 10 €. Le premier reçoit 2 parts, soit 2 × 10 = 20 € ; le second reçoit 3 parts, soit 3 × 10 = 30 €. On vérifie que tout est partagé : 20 + 30 = 50 €.

Une image utile : une barre coloriée, 2 cases bleues et 3 cases vertes, chaque case valant 10 €. La méthode marche pour toute quantité (de l'argent, des billes, des élèves…).

Comprendre

Un RATIO a:b répartit une quantité en a + b PARTS ÉGALES. Méthode en trois étapes : (1) compter le nombre total de parts = a + b ; (2) calculer la valeur d'une part = quantité ÷ (a + b) ; (3) multiplier ce montant par le nombre de parts de chacun. Exemple : 50 € selon 2:3 → 2 + 3 = 5 parts ; une part = 50 ÷ 5 = 10 € ; donc 2 × 10 = 20 € et 3 × 10 = 30 €.

VÉRIFICATION indispensable : la somme des parts doit redonner la quantité de départ (20 + 30 = 50 €). Le ratio se conserve : 20:30 se simplifie en 2:3. Pièges : partager « en deux moitiés » en oubliant le ratio (25 € et 25 €), ou se tromper sur le nombre de parts (diviser par a ou par b au lieu de a + b). Le partage proportionnel est une application directe de la proportionnalité : chaque personne reçoit un montant proportionnel à son nombre de parts.

Le cours

Le partage proportionnel prolonge l'idée de proportionnalité vers les ratios. QU'EST-CE QU'UN RATIO ? Un ratio a:b (« a pour b ») compare deux quantités : pour a d'un côté, b de l'autre.

Il sert à répartir une quantité en parts ÉGALES. PARTAGER SELON UN RATIO — MÉTHODE. (1) Je compte le nombre total de parts : a + b. (2) Je calcule la valeur d'une part : quantité ÷ (a + b). (3) Je donne à chacun son nombre de parts × la valeur d'une part. EXEMPLE.

Partager 50 € selon le ratio 2:3 : 2 + 3 = 5 parts ; une part = 50 ÷ 5 = 10 € ; le premier reçoit 2 × 10 = 20 €, le second 3 × 10 = 30 €. VÉRIFICATION. La somme doit reconstituer le total : 20 + 30 = 50 €.

On peut aussi contrôler le ratio obtenu : 20:30 = 2:3 (en divisant par 10). REPRÉSENTATION. Une barre partagée en 5 cases égales, 2 d'une couleur et 3 d'une autre, chaque case valant 10 €, montre bien le partage.

COMPARER DEUX GRANDEURS PAR LEUR RAPPORT. Un ratio ne sert pas qu'à partager : il sert aussi à COMPARER. Pour comparer deux mélanges, on compare leurs rapports.

Un sirop préparé avec 2 doses de concentré pour 10 doses d'eau a pour rapport 2/10 = 0,2 ; un autre avec 3 doses pour 12 a pour rapport 3/12 = 0,25 : 0,25 > 0,2, donc le second sirop est plus concentré. C'est bien le RAPPORT qu'il faut comparer, pas la différence entre les deux nombres. On écrit ces comparaisons sous forme de ratios simplifiés : 2:10 = 1:5 et 3:12 = 1:4. ÉGALITÉ DE RAPPORTS.

Deux suites de nombres sont proportionnelles exactement quand les rapports correspondants sont égaux : 3/12 = 5/20, car les deux valent 0,25 ; on peut alors écrire l'égalité de rapports a/b = c/d, qui est la forme sur laquelle repose le produit en croix du concept suivant. LIEN AVEC LA PROPORTIONNALITÉ. Chaque montant est proportionnel au nombre de parts : c'est un partage proportionnel.

À RETENIR : (1) nombre de parts = a + b ; (2) une part = quantité ÷ (a + b) ; (3) toujours vérifier que la somme des parts redonne la quantité.

Les erreurs fréquentes

On partage en deux parts égales en ignorant le ratio (par exemple 25 € et 25 € pour un ratio 2:3).

Le ratio 2:3 impose 2 + 3 = 5 parts égales, pas deux moitiés. Une part vaut 50 ÷ 5 = 10 €, donc 20 € et 30 € (et non 25 € et 25 €).

On divise la quantité par a ou par b au lieu de a + b.

Le dénominateur est le nombre TOTAL de parts a + b. Pour 2:3 : on divise par 5 (= 2 + 3), pas par 2 ni par 3.

Tu maîtrises la notion si…

• Déterminer le nombre de parts d'un ratio a:b comme a + b.
• Calculer la valeur d'une part (quantité ÷ (a + b)) puis chaque part.
• Vérifier que la somme des parts redonne la quantité partagée.
• Comparer deux grandeurs à l'aide de leur rapport (2:10 = 0,2 contre 3:12 = 0,25).
• Reconnaître la proportionnalité par une égalité de rapports (3/12 = 5/20).

Vérifie que tu as compris

1. On partage 40 € selon le ratio 3:1. Combien reçoit celui qui a 3 parts ?

   Réponse 30 €

   3 + 1 = 4 parts ; une part = 40 ÷ 4 = 10 € ; donc 3 × 10 = 30 € (et l'autre reçoit 10 €).

2. Le ratio billes bleues:rouges est 2:3 pour 45 billes. Combien de billes rouges ?

   Réponse 27

   2 + 3 = 5 parts ; une part = 45 ÷ 5 = 9 billes ; rouges = 3 × 9 = 27 (bleues = 2 × 9 = 18).

3. Une pâte à crêpes mélange farine et sucre selon le ratio 5:1, pour 600 g de mélange. Quelle masse de farine faut-il ?

   Réponse 500 g

   Le ratio 5:1 partage le mélange en 5 + 1 = 6 parts égales. Une part vaut 600 ÷ 6 = 100 g, donc la farine en compte 5 : 5 × 100 = 500 g (et le sucre 100 g). Diviser par 5 seulement donnerait 120 g, et partager en deux moitiés 300 g.