Proportionnalité et 4ᵉ proportionnelle — 4ᵉ

L'essentiel

Deux grandeurs sont proportionnelles si on obtient l'une en multipliant l'autre par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité. On le voit dans un tableau : pour passer de la 1re ligne à la 2e, on multiplie toujours par le même coefficient. Exemple : si 3 kg de pommes coûtent 12 €, le prix est proportionnel à la masse.

Pour trouver le prix de 5 kg (la case manquante, appelée quatrième proportionnelle), on utilise le PRODUIT EN CROIX : on multiplie en diagonale les deux valeurs connues et on divise par la troisième. Ici : (12 × 5) ÷ 3 = 60 ÷ 3 = 20 €. On peut vérifier avec le coefficient : 12 ÷ 3 = 4 €/kg, donc 5 × 4 = 20 €.

Une échelle, comme 1/200, est un coefficient de proportionnalité entre les longueurs du plan et celles du réel (réel = plan × 200).

Comprendre

PROPORTIONNALITÉ : on passe d'une grandeur à l'autre en multipliant TOUJOURS par le même COEFFICIENT. Dans un tableau, si chaque colonne respecte le même multiplicateur d'une ligne à l'autre, la situation est proportionnelle (un raisonnement ADDITIF, « on ajoute toujours le même nombre », n'est PAS de la proportionnalité). QUATRIÈME PROPORTIONNELLE (la case « ? ») : le PRODUIT EN CROIX.

On multiplie les deux valeurs connues placées en diagonale, puis on divise par la troisième. Exemple : masse 3 → 5, prix 12 → ? ; ? = (12 × 5) ÷ 3 = 60 ÷ 3 = 20 €. VÉRIFICATION par le coefficient : 12 ÷ 3 = 4 €/kg, donc 5 × 4 = 20 €.

ÉCHELLE : 1/200 est un coefficient (réel = plan × 200 ; plan = réel ÷ 200). Pièges : appliquer un produit en croix à une situation qui n'est pas proportionnelle ; se tromper de diagonale (diviser au lieu de multiplier). La reconnaissance de la proportionnalité conditionne tout : sans coefficient constant, ni le produit en croix ni le coefficient ne s'appliquent.

Le cours

Ce concept fait la synthèse du chapitre en revenant à la proportionnalité elle-même. RECONNAÎTRE LA PROPORTIONNALITÉ. Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, le COEFFICIENT de proportionnalité.

Dans un TABLEAU DE PROPORTIONNALITÉ, on vérifie que chaque colonne respecte le même multiplicateur d'une ligne à l'autre. Attention : une situation où l'on AJOUTE toujours le même nombre n'est pas proportionnelle. LA QUATRIÈME PROPORTIONNELLE.

Quand trois valeurs d'un tableau de proportionnalité sont connues et une manque, on la trouve par le PRODUIT EN CROIX : on multiplie les deux nombres en diagonale et on divise par le troisième. EXEMPLE. 3 kg de pommes coûtent 12 € ; combien coûtent 5 kg ? masse : 3 → 5 ; prix : 12 → ? ; ? = (12 × 5) ÷ 3 = 60 ÷ 3 = 20 €. VÉRIFICATION PAR LE COEFFICIENT.

Le prix au kilo est 12 ÷ 3 = 4 €/kg ; pour 5 kg : 5 × 4 = 20 €, même résultat. LES ÉCHELLES. Une échelle, par exemple 1/200, est un coefficient de proportionnalité entre le plan et le réel : longueur réelle = longueur sur le plan × 200 (et longueur sur le plan = longueur réelle ÷ 200).

MÉTHODE : (1) je vérifie que la situation est proportionnelle (coefficient constant) ; (2) je place les valeurs dans un tableau ; (3) je calcule la case manquante par le produit en croix ou le coefficient. À RETENIR : (1) proportionnalité = coefficient constant ; (2) une quatrième proportionnelle se calcule par PLUSIEURS méthodes — le coefficient de proportionnalité, le retour à l'unité, ou le produit en croix ; (3) une échelle est un coefficient de proportionnalité.

Les erreurs fréquentes

On applique un produit en croix à une situation qui n'est pas proportionnelle (raisonnement additif).

Le produit en croix ne vaut que si le coefficient est constant. On vérifie d'abord la proportionnalité : ajouter toujours le même nombre (2 → 7, 3 → 8) n'est PAS proportionnel.

On se trompe de diagonale : (12 × 3) ÷ 5 au lieu de (12 × 5) ÷ 3.

On multiplie les deux valeurs connues en diagonale de la case cherchée : ici 12 et 5 (les valeurs opposées à « ? »), puis on divise par 3. (12 × 5) ÷ 3 = 20 €.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître une situation de proportionnalité par un coefficient constant dans un tableau.
• Déterminer une quatrième proportionnelle par le produit en croix.
• Utiliser une échelle comme coefficient de proportionnalité entre plan et réel.

Vérifie que tu as compris

1. 4 kg de farine coûtent 8 €. Combien coûtent 7 kg (même prix au kilo) ?

   Réponse 14 €

   Produit en croix : (8 × 7) ÷ 4 = 56 ÷ 4 = 14 € (le coefficient est 8 ÷ 4 = 2 €/kg).

2. Sur un plan à l'échelle 1/500, une allée mesure 4 cm. Quelle est sa longueur réelle ?

   Réponse 20 m

   L'échelle 1/500 signifie réel = plan × 500 : 4 × 500 = 2000 cm, soit 20 m. Diviser au lieu de multiplier (500 ÷ 4 = 125 cm, soit 1,25 m) inverse le sens de l'échelle, et 2000 m confondrait les centimètres avec les mètres.

3. Dans un tableau, on lit 2 → 7, 3 → 8 et 5 → 10 : on ajoute toujours 5. Cette situation est-elle proportionnelle ?

   Réponse Non : 7 ÷ 2 = 3,5 mais 8 ÷ 3 ≈ 2,7, le coefficient n'est pas constant

   La proportionnalité, c'est MULTIPLIER toujours par le même coefficient, pas ajouter toujours le même nombre. Ici 7 ÷ 2 = 3,5 alors que 8 ÷ 3 ≈ 2,7 et 10 ÷ 5 = 2 : le coefficient change, la situation est additive. Un produit en croix y serait donc faux.