Puissances de 10

L'essentiel

Les PUISSANCES DE 10 sont les plus utiles de toutes. Pour un exposant positif n, 10ⁿ est le produit de n facteurs égaux à 10 : 10¹ = 10, 10² = 10 × 10 = 100, 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000, 10⁶ = 1 000 000. On remarque ensuite la forme commode « 1 suivi de n zéros » : l'exposant compte exactement le nombre de zéros. Pour un exposant NÉGATIF, on applique la règle des puissances : 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ.

Cela donne un nombre plus petit que 1 : 10⁻¹ = 0,1 ; 10⁻² = 1/100 = 0,01 ; 10⁻³ = 0,001. On compte alors le nombre de chiffres après la virgule (10⁻² a deux décimales). LE MÉCANISME CLÉ : multiplier un nombre par 10ⁿ revient à DÉPLACER LA VIRGULE de n rangs. Si n > 0, le nombre grandit, la virgule va vers la DROITE : 3,5 × 10³ = 3500 (on décale de 3 rangs : 3,5 → 35 → 350 → 3500).

Si n < 0, le nombre rapetisse, la virgule va vers la GAUCHE : 3,5 × 10⁻² = 0,035 (on décale de 2 rangs vers la gauche). C'est cette idée qui rendra l'écriture scientifique très rapide.

Comprendre

10ⁿ (n > 0) = produit de n facteurs égaux à 10 : 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000, 10⁶ = 1 000 000 ; on remarque ensuite la forme « 1 suivi de n zéros » (l'exposant = le nombre de zéros). 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ, un nombre plus petit que 1 : 10⁻¹ = 0,1 ; 10⁻² = 0,01 ; 10⁻³ = 0,001 (l'exposant = le nombre de décimales). LE MÉCANISME : multiplier par 10ⁿ DÉCALE LA VIRGULE de n rangs. n > 0 → vers la DROITE (le nombre grandit) : 3,5 × 10³ = 3500. n < 0 → vers la GAUCHE (le nombre rapetisse) : 3,5 × 10⁻² = 0,035. Deux erreurs classiques. D'abord, se tromper de sens : multiplier par 10³ AGRANDIT le nombre (virgule à droite), on n'obtient pas 0,0035. Ensuite, croire que 10⁻² = −100 : un exposant négatif donne un inverse (0,01), jamais un nombre négatif.

On peut toujours vérifier avec le nombre de zéros / de décimales, qui doit être égal à l'exposant. Les puissances de 10 sont l'outil direct de la notation scientifique : écrire un nombre a × 10ⁿ, c'est choisir la mantisse a puis compter le décalage de virgule n.

Le cours

LES PUISSANCES DE 10. Elles suivent les règles générales des puissances, mais avec la base 10 elles ont une forme très simple à lire. EXPOSANT POSITIF : 10ⁿ est le produit de n facteurs égaux à 10. 10¹ = 10 ; 10² = 10 × 10 = 100 ; 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000 ; 10⁴ = 10 000 ; 10⁶ = 1 000 000. On remarque alors la forme commode : 1 suivi de n zéros, l'exposant comptant les zéros. EXPOSANT NUL : 10⁰ = 1. EXPOSANT NÉGATIF : on applique 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ.

On obtient un nombre décimal plus petit que 1 : 10⁻¹ = 1/10 = 0,1 ; 10⁻² = 1/100 = 0,01 ; 10⁻³ = 1/1000 = 0,001. Ici l'exposant (en valeur absolue) compte les chiffres après la virgule. MULTIPLIER PAR UNE PUISSANCE DE 10. C'est le point le plus utile : multiplier un nombre par 10ⁿ revient à DÉPLACER LA VIRGULE de n rangs. Si n > 0, le nombre devient plus grand, on déplace la virgule vers la DROITE : 3,5 × 10³ = 3500 (3,5 → 35 → 350 → 3500, trois rangs).

Si n < 0, le nombre devient plus petit, on déplace la virgule vers la GAUCHE : 3,5 × 10⁻² = 0,035 (3,5 → 0,35 → 0,035, deux rangs). ERREURS À ÉVITER. Ne pas se tromper de sens (multiplier par 10³ agrandit, la virgule va à droite) ; ne pas écrire 10⁻² = −100 (un exposant négatif fabrique un inverse, 0,01, pas un nombre négatif).

À RETENIR : (1) 10ⁿ = 1 suivi de n zéros ; (2) 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ (0, puis des zéros) ; (3) × 10ⁿ décale la virgule de n rangs, à droite si n > 0, à gauche si n < 0.

Les erreurs fréquentes

On déplace la virgule dans le mauvais sens (3,5 × 10³ = 0,0035).

Multiplier par 10³ (exposant positif) AGRANDIT le nombre : la virgule va vers la DROITE. 3,5 × 10³ = 3500 (3,5 → 35 → 350 → 3500).

On écrit 10⁻² = −100 (exposant négatif traité comme un signe moins).

10⁻² = 1/10² = 1/100 = 0,01 : un exposant négatif donne un inverse (un nombre positif plus petit que 1), jamais un nombre négatif.

Tu maîtrises la notion si…

• Écrire 10ⁿ comme 1 suivi de n zéros (10³ = 1000) et 10⁻ⁿ comme 1/10ⁿ (10⁻² = 0,01).
• Multiplier un nombre par 10ⁿ en décalant la virgule de n rangs, dans le bon sens.
• Justifier le sens du décalage : à droite si n > 0 (le nombre grandit), à gauche si n < 0.

Vérifie que tu as compris

1. Que vaut 10⁻² ?

   Réponse 0,01

   10⁻² = 1/10² = 1/100 = 0,01 (deux chiffres après la virgule). 0,1 = 10⁻¹ et 0,001 = 10⁻³ ; un exposant négatif ne donne jamais un nombre négatif.

2. Combien vaut 3,7 × 10³ ?

   Réponse 3700

   Multiplier par 10³ décale la virgule de 3 rangs vers la droite : 3,7 → 37 → 370 → 3700. Deux rangs seulement donneraient 370, quatre rangs 37 000, et un décalage vers la gauche (0,0037) correspondrait à 10⁻³.

3. Un milliard s'écrit :

   Réponse 10⁹

   Un milliard vaut 1 000 000 000, c'est-à-dire un 1 suivi de 9 zéros : c'est 10⁹. Le préfixe « giga » correspond justement à 10⁹. Un million s'écrit 10⁶ et mille milliards 10¹². L'exposant compte les zéros, il ne se lit pas dans le nom du nombre.