Puissance d'exposant entier — 3ᵉ

L'essentiel

La PUISSANCE aⁿ est une écriture abrégée d'un produit de facteurs égaux. Pour un exposant entier positif n, aⁿ = a × a × … × a avec n facteurs : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Deux cas particuliers à connaître : a¹ = a (un seul facteur) et a⁰ = 1 (par convention, pour tout a non nul). NOUVEAUTÉ DE LA 3e : l'exposant peut être NÉGATIF.

Un exposant négatif désigne l'INVERSE de la puissance : a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Par exemple 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125, et 5⁻¹ = 1/5 = 0,2. Attention : un exposant négatif ne rend PAS le résultat négatif ! 2⁻³ vaut 1/8 (un nombre positif), pas −8. Autre point de vigilance, le PIÈGE DU SIGNE avec les parenthèses : (−2)² = (−2) × (−2) = 4 (le carré d'un nombre négatif est positif), tandis que −2² = −(2 × 2) = −4 (on élève d'abord 2 au carré, puis on prend l'opposé). Les parenthèses décident de ce qui est élevé à la puissance.

Comprendre

aⁿ abrège un produit de n facteurs égaux à a : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Cas particuliers : a¹ = a et a⁰ = 1 (pour a non nul). LE NOUVEL OUTIL DE 3e est l'exposant NÉGATIF, qui signifie « inverse » : a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Ainsi 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125 ; 5⁻¹ = 1/5 = 0,2 ; 10⁻¹ = 0,1. Erreur la plus fréquente : croire que 2⁻³ = −8 (on confond l'exposant négatif avec un nombre négatif).

Un exposant négatif donne toujours un résultat POSITIF si la base est positive ; c'est l'inverse, pas l'opposé. Deuxième piège décisif, le SIGNE et les parenthèses : (−2)² = (−2) × (−2) = 4, car multiplier deux négatifs donne un positif ; mais −2² = −(2²) = −4, car sans parenthèses seul le 2 est élevé au carré et le signe − reste devant. On retient donc : les parenthèses décident QUOI est élevé à la puissance, et un exposant négatif fabrique un inverse (1/aⁿ), jamais un nombre négatif.

Ces règles préparent les puissances de 10 et la notation scientifique.

Le cours

LA NOTATION PUISSANCE. Pour un nombre a et un entier n strictement positif, la puissance aⁿ est le produit de n facteurs tous égaux à a : aⁿ = a × a × … × a (n facteurs). Ainsi 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 5² = 5 × 5 = 25. Le nombre a s'appelle la BASE, le nombre n l'EXPOSANT.

DEUX CAS PARTICULIERS. a¹ = a (un seul facteur : 7¹ = 7) ; a⁰ = 1 pour tout nombre a non nul (par convention : 4⁰ = 1, 10⁰ = 1). L'EXPOSANT NÉGATIF (nouveauté de la 3e). Quand l'exposant est un entier négatif, la puissance désigne l'INVERSE de la puissance correspondante : a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

Exemples : 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125 ; 5⁻¹ = 1/5 = 0,2 ; 3⁻² = 1/3² = 1/9. ATTENTION : un exposant négatif ne fabrique jamais un nombre négatif — 2⁻³ = 1/8 est positif, ce n'est pas −8. LE PIÈGE DU SIGNE. Avec un nombre négatif, tout dépend des parenthèses. (−2)² signifie que −2 est élevé au carré : (−2)² = (−2) × (−2) = 4 (le produit de deux nombres négatifs est positif). En revanche −2² se lit « l'opposé de 2² » : −2² = −(2 × 2) = −4 ; ici seul le 2 est élevé au carré.

De même (−3)² = 9 mais −3² = −9. À RETENIR : (1) aⁿ = a × … × a (n facteurs), a¹ = a, a⁰ = 1 ; (2) a⁻ⁿ = 1/aⁿ (un exposant négatif = un inverse, pas un opposé) : 2⁻³ = 1/8 ; (3) les parenthèses décident : (−2)² = 4, mais −2² = −4.

Les erreurs fréquentes

On croit qu'un exposant négatif donne un nombre négatif (2⁻³ = −8).

Un exposant négatif désigne un INVERSE, pas un opposé : 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125, un nombre positif. Le résultat n'est négatif que si la base est négative.

On confond (−2)² et −2² (les deux valent 4, ou les deux valent −4).

Les parenthèses décident : (−2)² = (−2) × (−2) = 4, mais −2² = −(2²) = −4. Sans parenthèses, seul le 2 est élevé au carré et le signe − reste devant.

On calcule aⁿ comme a × n (2⁵ = 10 au lieu de 32).

L'exposant compte les FACTEURS, il ne se multiplie pas à la base : 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, et non 2 × 5 = 10.

Tu maîtrises la notion si…

• Calculer une puissance à exposant entier positif et connaître a¹ = a et a⁰ = 1.
• Interpréter un exposant négatif comme un inverse : a⁻ⁿ = 1/aⁿ (2⁻³ = 1/8 = 0,125 ; 5⁻¹ = 0,2).
• Distinguer (−2)² = 4 de −2² = −4 grâce aux parenthèses, sans transformer un exposant négatif en nombre négatif.

Vérifie que tu as compris

1. Que vaut 2⁻³ ?

   Réponse 1/8

   Un exposant négatif désigne un inverse : 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. Ce n'est pas un nombre négatif (−8 confond exposant négatif et opposé) et 2³ = 8, pas 6.

2. Que valent (−2)² et −2² ?

   Réponse (−2)² = 4 et −2² = −4

   Avec les parenthèses, on élève −2 au carré : (−2)² = (−2) × (−2) = 4. Sans parenthèses, on élève d'abord 2 puis on prend l'opposé : −2² = −(2 × 2) = −4. Les parenthèses changent le résultat.

3. Que peut-on dire de a⁰ pour un nombre a non nul ?

   Réponse a⁰ = 1

   Toute puissance d'exposant 0 vaut 1 dès que la base n'est pas nulle : 5⁰ = 1, 10⁰ = 1 et même (−3)⁰ = 1. Cette convention prolonge la règle des quotients : a³ ÷ a³ = a⁰, et un nombre non nul divisé par lui-même vaut toujours 1. Il ne faut pas confondre l'exposant 0, qui donne 1, et le facteur 0, qui donne 0.