Écriture scientifique des grands nombres

L'essentiel

L'ÉCRITURE SCIENTIFIQUE sert à écrire simplement des nombres très grands (ou très petits). Un nombre est en écriture scientifique quand il a la forme a × 10ⁿ, avec deux conditions : la MANTISSE a a un SEUL chiffre non nul avant la virgule, c'est-à-dire 1 ≤ |a| < 10 (comme 3,4 ou 9,02, mais pas 34 ni 0,3) ; et n est un nombre entier. MÉTHODE pour un grand nombre.

On place la virgule juste après le premier chiffre, puis on compte de combien de rangs on l'a déplacée : ce nombre de rangs est l'exposant. Exemple : 34 000. On écrit 3,4 (virgule après le 3), et on a déplacé la virgule de 4 rangs (34 000 → 3,4), donc 34 000 = 3,4 × 10⁴. Autre exemple : 902 000 000. On écrit 9,02 (on garde le 0 des centaines !) et on compte 8 rangs : 902 000 000 = 9,02 × 10⁸.

VÉRIFICATION : 3,4 × 10⁴ = 3,4 × 10 000 = 34 000. On retrouve bien le nombre de départ. Cette écriture rend les très grands nombres faciles à lire et à comparer.

Comprendre

Écriture scientifique = a × 10ⁿ avec 1 ≤ |a| < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule) et n entier. Pour un grand nombre, n > 0. MÉTHODE : placer la virgule après le premier chiffre significatif, puis compter les rangs de décalage → c'est l'exposant. 34 000 = 3,4 × 10⁴ (4 rangs) ; 902 000 000 = 9,02 × 10⁸ (8 rangs, en gardant le 0). On vérifie en refaisant : 3,4 × 10⁴ = 34 000. Deux erreurs.

D'abord, une mantisse hors de [1 ; 10[ : 34 × 10³ ou 0,34 × 10⁵ valent bien 34 000, mais ce ne sont PAS des écritures scientifiques (34 a deux chiffres avant la virgule, 0,34 en a zéro). Ensuite, se tromper d'exposant en oubliant un rang ou un zéro intermédiaire (9,2 × 10⁸ au lieu de 9,02 × 10⁸). L'astuce sûre : le nombre de chiffres du grand nombre moins 1 donne l'exposant (34 000 a 5 chiffres → 10⁴).

L'écriture scientifique est l'outil universel des sciences pour manier des distances, des masses ou des effectifs gigantesques.

Le cours

L'ÉCRITURE SCIENTIFIQUE. Tout nombre (non nul) peut s'écrire sous la forme a × 10ⁿ, appelée écriture scientifique, à condition que : (1) la MANTISSE a ait un seul chiffre non nul avant la virgule, autrement dit 1 ≤ |a| < 10 ; (2) n soit un entier relatif. Cette écriture unique sert à manipuler facilement les très grands (et très petits) nombres.

MÉTHODE POUR UN GRAND NOMBRE. On déplace la virgule pour qu'il ne reste qu'un chiffre non nul devant elle, et on compte le nombre de rangs de déplacement : ce nombre est l'exposant n (positif). EXEMPLE 1 : 34 000. On place la virgule après le 3 : 3,4. On a déplacé la virgule de 4 rangs (de la fin de 34 000 jusqu'après le 3).

Donc 34 000 = 3,4 × 10⁴. EXEMPLE 2 : 902 000 000. On écrit 9,02 (attention à conserver le 0 des centaines), et on compte 8 rangs : 902 000 000 = 9,02 × 10⁸. VÉRIFICATION : on peut toujours refaire le calcul, 3,4 × 10⁴ = 3,4 × 10 000 = 34 000, et 9,02 × 10⁸ = 902 000 000. ASTUCE : pour un entier, l'exposant est égal au nombre de chiffres moins 1 (34 000 a 5 chiffres → exposant 4).

DEUX ERREURS À ÉVITER. Écrire une mantisse hors de [1 ; 10[ : 34 × 10³ = 34 000 est exact mais n'est pas une écriture scientifique (34 ≥ 10) ; de même 0,34 × 10⁵ (0,34 < 1). Se tromper d'exposant en oubliant un rang, ou perdre un zéro intermédiaire (écrire 9,2 × 10⁸ au lieu de 9,02 × 10⁸).

À RETENIR : (1) écriture scientifique = a × 10ⁿ, 1 ≤ |a| < 10 ; (2) pour un grand nombre, l'exposant compte les rangs de décalage de la virgule ; (3) 34 000 = 3,4 × 10⁴ et 902 000 000 = 9,02 × 10⁸.

Les erreurs fréquentes

On garde une mantisse hors de [1 ; 10[ (écrire 34 000 = 34 × 10³).

La mantisse doit avoir un SEUL chiffre non nul avant la virgule (1 ≤ a < 10). 34 × 10³ vaut bien 34 000, mais l'écriture scientifique est 3,4 × 10⁴.

On se trompe d'exposant en oubliant un rang ou un zéro (9,2 × 10⁸ pour 902 000 000).

On compte tous les rangs de décalage et on garde les zéros intermédiaires : 902 000 000 = 9,02 × 10⁸ (le 0 des centaines reste dans la mantisse).

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître une écriture scientifique valide : a × 10ⁿ avec 1 ≤ |a| < 10.
• Écrire un grand nombre en notation scientifique en comptant les rangs de décalage (34 000 = 3,4 × 10⁴).
• Conserver tous les chiffres significatifs, zéros intermédiaires compris (902 000 000 = 9,02 × 10⁸).

Vérifie que tu as compris

1. Quelle est l'écriture scientifique de 34 000 ?

   Réponse 3,4 × 10⁴

   En notation scientifique, un seul chiffre non nul est placé avant la virgule (1 ≤ |a| < 10) : 34 000 = 3,4 × 10⁴ (la virgule se déplace de 4 rangs). 34 × 10³ et 0,34 × 10⁵ ont une mantisse hors de [1 ; 10[ ; 3,4 × 10³ = 3400.

2. Quelle est l'écriture scientifique de 902 000 000 ?

   Réponse 9,02 × 10⁸

   On place la virgule après le 9 : 9,02, puis on compte les rangs de décalage jusqu'à 902 000 000, soit 8 rangs : 9,02 × 10⁸. Le 0 des centaines doit être conservé (9,2 × 10⁸ oublie un chiffre) ; 902 × 10⁶ a une mantisse hors de [1 ; 10[.

3. Quel nombre décimal se cache derrière 6,4 × 10⁵ ?

   Réponse 640 000

   L'exposant 5 indique un décalage de la virgule de 5 rangs vers la DROITE : 6,4 → 64 → 640 → 6400 → 64 000 → 640 000. Le nombre vaut donc 640 000, soit six cent quarante mille. Un décalage de 4 rangs donnerait 64 000, un décalage de 6 rangs 6 400 000, et un décalage vers la gauche correspondrait à l'exposant −5.