Calculer et comparer en notation scientifique

L'essentiel

Quand des nombres sont écrits sous la forme a × 10ⁿ, on peut calculer très vite en traitant SÉPARÉMENT les mantisses (les a) et les puissances de 10. PRODUIT : on multiplie les mantisses entre elles et on ADDITIONNE les exposants des puissances de 10. Exemple : (3 × 10⁵) × (2 × 10³) = (3 × 2) × (10⁵ × 10³) = 6 × 10⁸. QUOTIENT : on divise les mantisses et on SOUSTRAIT les exposants. Exemple : (8 × 10⁷) ÷ (2 × 10³) = (8 ÷ 2) × (10⁷ ÷ 10³) = 4 × 10⁴.

On prolonge les règles de calcul sur les puissances de même base (10⁵ × 10³ = 10⁸, 10⁷ ÷ 10³ = 10⁴). COMPARER deux nombres en écriture scientifique : on regarde D'ABORD la puissance de 10 (l'exposant). Celui qui a le plus grand exposant est le plus grand nombre — même si sa mantisse est plus petite !

Par exemple 3,5 × 10⁶ est plus grand que 8 × 10⁵, car 10⁶ > 10⁵. Ce n'est QU'EN cas d'égalité des exposants qu'on compare les mantisses : 4,2 × 10³ > 3,9 × 10³ car 4,2 > 3,9. Attention : si un produit donne une mantisse ≥ 10, on la remet en écriture scientifique.

Comprendre

En écriture scientifique, on sépare mantisses et puissances de 10. PRODUIT : multiplier les mantisses, ADDITIONNER les exposants. (3 × 10⁵) × (2 × 10³) = (3 × 2) × 10⁵⁺³ = 6 × 10⁸. QUOTIENT : diviser les mantisses, SOUSTRAIRE les exposants. (8 × 10⁷) ÷ (2 × 10³) = (8 ÷ 2) × 10⁷⁻³ = 4 × 10⁴. Ces règles prolongent celles des puissances de même base.

COMPARER : on regarde D'ABORD l'exposant (la puissance de 10) ; le plus grand exposant gagne, même si sa mantisse est plus petite. 3,5 × 10⁶ > 8 × 10⁵ car 6 > 5. À exposants ÉGAUX seulement, on compare les mantisses : 4,2 × 10³ > 3,9 × 10³. Erreurs classiques : multiplier les exposants au lieu de les additionner (10⁵ × 10³ = 10⁸, pas 10¹⁵) ; comparer d'abord les mantisses (croire que 8 × 10⁵ > 3,5 × 10⁶ parce que 8 > 3,5, ce qui est faux). Dernière vigilance : si la mantisse du résultat sort de [1 ; 10[ (ex. 60 × 10⁷), on la ré-écrit en scientifique (6 × 10⁸).

Ces calculs sont l'aboutissement du chapitre : ils réunissent puissances de 10 et notation scientifique en un outil de calcul efficace.

Le cours

CALCULER EN ÉCRITURE SCIENTIFIQUE. Lorsque des nombres sont donnés sous la forme a × 10ⁿ, on calcule en regroupant d'un côté les mantisses, de l'autre les puissances de 10. PRODUIT. On multiplie les mantisses entre elles, et on additionne les exposants des puissances de 10 (règle 10ᵖ × 10ᵠ = 10ᵖ⁺ᵠ).

EXEMPLE : (3 × 10⁵) × (2 × 10³) = (3 × 2) × (10⁵ × 10³) = 6 × 10⁸. QUOTIENT. On divise les mantisses, et on soustrait les exposants (règle 10ᵖ ÷ 10ᵠ = 10ᵖ⁻ᵠ).

EXEMPLE : (8 × 10⁷) ÷ (2 × 10³) = (8 ÷ 2) × (10⁷ ÷ 10³) = 4 × 10⁴. REVENIR À L'ÉCRITURE SCIENTIFIQUE. Si la mantisse obtenue n'est plus dans [1 ; 10[, on la corrige : par exemple (4 × 10⁶) × (3 × 10²) = 12 × 10⁸ = 1,2 × 10⁹ (car 12 = 1,2 × 10).

COMPARER DEUX NOMBRES EN ÉCRITURE SCIENTIFIQUE. On compare D'ABORD les exposants des puissances de 10 : le nombre qui a le plus grand exposant est le plus grand, même si sa mantisse est plus petite. EXEMPLE : 3,5 × 10⁶ et 8 × 10⁵.

Comme 6 > 5, on a 3,5 × 10⁶ > 8 × 10⁵ (en effet 3 500 000 > 800 000), bien que 8 > 3,5. Ce n'est que si les exposants sont ÉGAUX qu'on compare les mantisses : 4,2 × 10³ > 3,9 × 10³ car 4,2 > 3,9. DEUX ERREURS À ÉVITER. Multiplier les exposants au lieu de les additionner (10⁵ × 10³ = 10⁸, pas 10¹⁵) ; comparer les mantisses avant les exposants (8 × 10⁵ n'est pas plus grand que 3,5 × 10⁶). À RETENIR : (1) produit → mantisses × mantisses, exposants additionnés ; (2) quotient → mantisses ÷ mantisses, exposants soustraits ; (3) comparer → l'exposant d'abord, la mantisse ensuite.

Les erreurs fréquentes

On multiplie les exposants au lieu de les additionner ((3 × 10⁵) × (2 × 10³) = 6 × 10¹⁵).

Pour un produit de puissances de même base, on ADDITIONNE les exposants : 10⁵ × 10³ = 10⁵⁺³ = 10⁸. Donc (3 × 10⁵) × (2 × 10³) = 6 × 10⁸.

Pour comparer, on regarde d'abord la mantisse (8 × 10⁵ > 3,5 × 10⁶ car 8 > 3,5).

On compare D'ABORD les exposants : 10⁶ > 10⁵, donc 3,5 × 10⁶ > 8 × 10⁵ (3 500 000 > 800 000). La mantisse ne départage qu'à exposants égaux.

Tu maîtrises la notion si…

• Calculer un produit en écriture scientifique : multiplier les mantisses, additionner les exposants ((3 × 10⁵) × (2 × 10³) = 6 × 10⁸).
• Calculer un quotient : diviser les mantisses, soustraire les exposants ((8 × 10⁷) ÷ (2 × 10³) = 4 × 10⁴).
• Comparer deux nombres en écriture scientifique en regardant l'exposant d'abord, puis la mantisse.

Vérifie que tu as compris

1. Combien vaut (3 × 10⁵) × (2 × 10³) ?

   Réponse 6 × 10⁸

   On multiplie les mantisses et on additionne les exposants : 3 × 2 = 6 et 10⁵ × 10³ = 10⁵⁺³ = 10⁸, donc 6 × 10⁸. On n'additionne pas les mantisses (5), on ne multiplie pas les exposants (10¹⁵) et on ne les soustrait pas (10²).

2. Combien vaut (8 × 10⁷) ÷ (2 × 10³) ?

   Réponse 4 × 10⁴

   On divise les mantisses et on soustrait les exposants : 8 ÷ 2 = 4 et 10⁷ ÷ 10³ = 10⁷⁻³ = 10⁴, donc 4 × 10⁴. On n'additionne pas les exposants (10¹⁰) et 8 − 2 = 6 est une erreur (il faut diviser les mantisses, pas les soustraire).

3. Lequel de ces quatre nombres est le plus grand ?

   Réponse 4 × 10⁶

   Pour comparer des nombres en notation scientifique, on regarde D'ABORD l'exposant : 10⁶ vaut dix fois 10⁵. Les deux nombres en 10⁶ sont donc les plus grands, et entre eux on compare les mantisses : 4 > 3. Le plus grand est 4 × 10⁶ = 4 000 000, devant 3 × 10⁶ = 3 000 000, puis 9 × 10⁵ = 900 000 et 8 × 10⁵ = 800 000. Une grande mantisse ne suffit pas : 9 × 10⁵ reste plus petit que 3 × 10⁶.