Petits nombres et ordre de grandeur

L'essentiel

L'écriture scientifique s'applique aussi aux nombres TRÈS PETITS (plus petits que 1). La forme reste a × 10ⁿ avec 1 ≤ |a| < 10, mais l'exposant n est alors NÉGATIF. MÉTHODE : on place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis on compte de combien de rangs il faut remonter la virgule pour retrouver le nombre.

Exemple : 0,00052. Le premier chiffre non nul est le 5, on écrit 5,2 ; pour revenir à 0,00052, la virgule doit reculer de 4 rangs, donc 0,00052 = 5,2 × 10⁻⁴. Autre exemple : 0,000 006 = 6 × 10⁻⁶ (le 6 est au 6ᵉ rang après la virgule). VÉRIFICATION : 5,2 × 10⁻⁴ = 5,2 × 0,0001 = 0,00052. L'ORDRE DE GRANDEUR d'un nombre, c'est la puissance de 10 la plus PROCHE de lui : elle dit « à peu près combien de zéros », donc la taille du nombre.

On la lit sur la notation scientifique a × 10ⁿ : si la mantisse a est plus petite que 5, l'ordre de grandeur est 10ⁿ ; si elle est supérieure ou égale à 5, le nombre est plus près de la puissance suivante, donc on monte d'un rang : 10ⁿ⁺¹. Exemples : 0,000 32 = 3,2 × 10⁻⁴, mantisse 3,2 plus petite que 5, ordre de grandeur 10⁻⁴ ; 0,000 006 = 6 × 10⁻⁶, mantisse 6 supérieure à 5, ordre de grandeur 10⁻⁵. C'est très pratique pour COMPARER des grandeurs très éloignées : le diamètre d'un atome est de l'ordre de 10⁻¹⁰ m, celui d'une bactérie de l'ordre de 10⁻⁶ m ; la bactérie est donc environ 10⁴ = 10 000 fois plus grande qu'un atome.

Comprendre

Pour un nombre plus petit que 1, l'écriture scientifique a × 10ⁿ a un exposant NÉGATIF. MÉTHODE : placer la virgule après le premier chiffre non nul, puis compter les rangs pour revenir au nombre (l'exposant est l'opposé de ce nombre de rangs). 0,00052 = 5,2 × 10⁻⁴ (le 5 est au 4ᵉ rang après la virgule) ; 0,000 006 = 6 × 10⁻⁶. On vérifie : 5,2 × 10⁻⁴ = 0,00052. L'ORDRE DE GRANDEUR est la puissance de 10 la plus PROCHE du nombre — sur a × 10ⁿ : 10ⁿ si la mantisse a est plus petite que 5, 10ⁿ⁺¹ si elle est supérieure ou égale à 5 (0,000 006 = 6 × 10⁻⁶ a donc pour ordre de grandeur 10⁻⁵).

Il résume la taille du nombre et permet de comparer sans se noyer dans les chiffres. Exemple concret : un atome mesure ≈ 10⁻¹⁰ m, une bactérie ≈ 10⁻⁶ m ; comme 10⁻⁶ / 10⁻¹⁰ = 10⁴, la bactérie est environ 10 000 fois plus grande. Deux erreurs à éviter : se tromper de SIGNE (0,00052 = 5,2 × 10⁴ est faux : un petit nombre a un exposant négatif), et se tromper du NOMBRE de rangs (5,2 × 10⁻³ = 0,0052, un rang de trop).

L'astuce : le rang du premier chiffre non nul après la virgule donne directement l'exposant négatif. Écriture des petits nombres et ordre de grandeur sont les outils des sciences pour parler de l'infiniment petit.

Le cours

ÉCRITURE SCIENTIFIQUE DES PETITS NOMBRES. La forme reste a × 10ⁿ avec 1 ≤ |a| < 10, mais pour un nombre plus petit que 1, l'exposant n est NÉGATIF. MÉTHODE : on repère le premier chiffre non nul, on place la virgule juste après, puis on compte de combien de rangs la virgule doit RECULER (vers la gauche) pour reformer le nombre de départ ; ce nombre de rangs est l'exposant, en négatif.

EXEMPLE 1 : 0,00052. Premier chiffre non nul : 5. On écrit 5,2. Pour retrouver 0,00052, la virgule recule de 4 rangs : 0,00052 = 5,2 × 10⁻⁴. EXEMPLE 2 : 0,000 006. Le 6 est au 6ᵉ rang après la virgule : 0,000 006 = 6 × 10⁻⁶. VÉRIFICATION : 5,2 × 10⁻⁴ = 5,2 × 0,0001 = 0,00052. L'ORDRE DE GRANDEUR.

L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus PROCHE de ce nombre : c'est une estimation de sa taille, qui permet de COMPARER rapidement des grandeurs très différentes. On le lit sur la notation scientifique a × 10ⁿ : si la mantisse a est plus petite que 5, l'ordre de grandeur est 10ⁿ ; si elle est supérieure ou égale à 5, on monte d'un rang et l'ordre de grandeur est 10ⁿ⁺¹. EXEMPLE : 0,000 32 = 3,2 × 10⁻⁴, mantisse 3,2 plus petite que 5, ordre de grandeur 10⁻⁴ ; 0,000 006 = 6 × 10⁻⁶, mantisse 6 supérieure à 5, ordre de grandeur 10⁻⁵.

EXEMPLE : le diamètre d'un atome est de l'ordre de 10⁻¹⁰ m, celui d'une bactérie de l'ordre de 10⁻⁶ m. Pour comparer, on divise : 10⁻⁶ ÷ 10⁻¹⁰ = 10⁻⁶⁻(⁻¹⁰) = 10⁴. La bactérie est donc environ 10 000 fois plus grande qu'un atome.

DEUX ERREURS À ÉVITER. Se tromper de signe d'exposant (un nombre plus petit que 1 a un exposant NÉGATIF : 0,00052 = 5,2 × 10⁻⁴, pas 5,2 × 10⁴). Se tromper du nombre de rangs (5,2 × 10⁻³ = 0,0052 ≠ 0,00052).

À RETENIR : (1) petit nombre → exposant négatif ; (2) l'exposant est le rang du premier chiffre non nul après la virgule (0,00052 = 5,2 × 10⁻⁴) ; (3) l'ordre de grandeur est la puissance de 10 la plus proche (on monte d'un rang si la mantisse est supérieure ou égale à 5) et sert à comparer des tailles très éloignées.

Les erreurs fréquentes

On met un exposant positif pour un petit nombre (0,00052 = 5,2 × 10⁴).

Un nombre plus petit que 1 a un exposant NÉGATIF : 0,00052 = 5,2 × 10⁻⁴. Vérification : 5,2 × 10⁴ = 52 000, ce qui est énorme, pas 0,00052.

On se trompe du nombre de rangs (0,00052 = 5,2 × 10⁻³).

Le premier chiffre non nul (5) est au 4ᵉ rang après la virgule : 0,00052 = 5,2 × 10⁻⁴. On vérifie : 5,2 × 10⁻³ = 0,0052, un rang de trop.

Tu maîtrises la notion si…

• Écrire un nombre plus petit que 1 en notation scientifique avec un exposant négatif (0,00052 = 5,2 × 10⁻⁴).
• Compter correctement les rangs jusqu'au premier chiffre non nul (0,000 006 = 6 × 10⁻⁶).
• Donner l'ordre de grandeur d'un nombre — la puissance de 10 la plus proche, en montant d'un rang si la mantisse est supérieure ou égale à 5 — et l'utiliser pour comparer des tailles.

Vérifie que tu as compris

1. Quelle est l'écriture scientifique de 0,00052 ?

   Réponse 5,2 × 10⁻⁴

   Pour un nombre plus petit que 1, l'exposant est négatif. On place la virgule après le 5 : 5,2, et il faut remonter de 4 rangs pour retrouver 0,00052 : 0,00052 = 5,2 × 10⁻⁴. 5,2 × 10⁻³ = 0,0052 (un rang de trop) ; 52 × 10⁻⁵ a une mantisse hors de [1 ; 10[.

2. Quelle est l'écriture scientifique de 0,000 006 ?

   Réponse 6 × 10⁻⁶

   0,000 006 = 6 × 0,000 001 = 6 × 10⁻⁶ : le 6 est au 6ᵉ rang après la virgule. 6 × 10⁻⁵ = 0,000 06 (un rang de moins, soit dix fois trop grand) ; 0,6 × 10⁻⁵ a une mantisse plus petite que 1 ; 6 × 10⁶ serait un très grand nombre.

3. Un cheveu a un diamètre d'environ 0,00007 m. Quel est l'ordre de grandeur de cette longueur ?

   Réponse 10⁻⁴ m

   On écrit d'abord la longueur en notation scientifique : 0,00007 = 7 × 10⁻⁵. L'ordre de grandeur est la puissance de 10 la PLUS PROCHE du nombre : comme la mantisse 7 dépasse 5, on arrondit à 10 × 10⁻⁵, c'est-à-dire 10⁻⁴ m. Répondre 10⁻⁵ m reviendrait à garder la puissance sans regarder la mantisse, et 7 × 10⁻⁵ m est l'écriture scientifique, pas l'ordre de grandeur.