Puissance d'une puissance

En une phrase

Quand une puissance est elle-même élevée à une puissance, on garde la base et on MULTIPLIE les exposants : (2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6 = 64. Attention à ne pas additionner les exposants : ici on les multiplie.

Comprendre

Une puissance peut être élevée à son tour à une puissance, comme (2^3)^2. La règle est simple : on garde la base et on MULTIPLIE les exposants, (a^m)^n = a^(m×n). On comprend pourquoi en revenant à la définition. (2^3)^2 signifie qu'on élève 2^3 au carré, c'est-à-dire qu'on le multiplie deux fois par lui-même : (2^3)^2 = 2^3 × 2^3. En utilisant la règle du produit (on additionne les exposants), 2^3 × 2^3 = 2^(3+3) = 2^6. Or additionner deux fois 3 revient à faire 3 × 2 : c'est exactement pourquoi on multiplie les exposants. On obtient (2^3)^2 = 2^6 = 64. L'erreur la plus fréquente est d'additionner les exposants au lieu de les multiplier : (2^3)^2 ne vaut pas 2^5, mais 2^6. Additionner les exposants (3 + 2 = 5) correspond au produit 2^3 × 2^2, qui est une situation différente.

Il faut aussi éviter de multiplier la base par l'exposant extérieur : dans (2^3)^2, le petit 2 du haut agit sur toute la puissance 2^3, pas seulement sur la base. Bien distinguer « puissance d'une puissance » (on multiplie) et « produit de puissances » (on additionne) est la clé de ce concept.

Le cours

Élever une puissance à une puissance, c'est appliquer un second exposant à une puissance déjà écrite, comme (a^m)^n. La règle est : (a^m)^n = a^(m×n). On garde la base et on multiplie les deux exposants.

Justification par la définition : (2^3)^2 signifie que l'on élève 2^3 au carré, donc (2^3)^2 = 2^3 × 2^3. D'après la règle du produit de puissances de même base, on additionne les exposants : 2^3 × 2^3 = 2^(3+3) = 2^6. Et comme additionner 3 deux fois revient à calculer 3 × 2, on retrouve bien (2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6. En valeur, 2^6 = 64. Autre exemple : (5^2)^3 = 5^(2×3) = 5^6. Deux erreurs sont à éviter. La première consiste à additionner les exposants : (2^3)^2 = 2^5 est faux ; 2^5 correspondrait au produit 2^3 × 2^2, une situation différente. La seconde consiste à empiler les exposants au lieu de les multiplier : (2^3)^2 = 2^(3²) = 2^9 est faux, car 2^9 = 512 alors que (2^3)^2 = 64. Retenir la distinction : puissance d'une puissance, on multiplie les exposants ; produit de puissances, on additionne les exposants.

Les erreurs fréquentes

On additionne les exposants : (2^3)^2 = 2^(3+2) = 2^5.

Pour une puissance d'une puissance, on MULTIPLIE les exposants : (2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6 = 64. Additionner (3 + 2 = 5) correspond au produit 2^3 × 2^2, ce n'est pas la même situation.

On empile les exposants au lieu de les multiplier : (2^3)^2 = 2^(3²) = 2^9.

Pour une puissance de puissance, on MULTIPLIE les deux exposants : (2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6 = 64, et non 2^9 = 512.

Tu maîtrises la notion si…

• Appliquer (a^m)^n = a^(m×n) : multiplier les exposants, (2^3)^2 = 2^6.
• Justifier la règle en développant (2^3)^2 = 2^3 × 2^3.
• Distinguer la puissance d'une puissance (on multiplie) du produit de puissances (on additionne).

Vérifie que tu as compris

1. Combien vaut (2³)² ?

   Réponse 2⁶

   Puissance d'une puissance : on multiplie les exposants. (2³)² = 2³ˣ² = 2⁶ = 64 (et non 2⁵ : additionner, c'est la règle du produit 2³ × 2² ; et non 6² = 36 : l'exposant intérieur ne se multiplie pas à la base).

2. Combien vaut (5²)³ ?

   Réponse 5⁶

   Puissance d'une puissance : on multiplie les exposants. (5²)³ = 5²ˣ³ = 5⁶ (on ne les additionne pas : 5⁵ serait le produit 5² × 5³ ; et 10³ multiplierait la base 5 par l'exposant intérieur 2).

3. Parmi ces égalités sur les puissances, laquelle est vraie ?

   Réponse (3²)⁴ = 3⁸

   Puissance d'une puissance : on multiplie les exposants, (3²)⁴ = 3²ˣ⁴ = 3⁸. Les additionner donnerait 3⁶ ; 9⁸ vaut (3²)⁸ = 3¹⁶, deux fois trop de facteurs ; 6⁴ multiplierait la base par l'exposant intérieur.