Les puissances de 10 — 4ᵉ
Comment écrire un très grand ou un très petit nombre d'un seul coup ?
En une phrase
Une puissance de 10 est très simple à écrire. 10^n, c'est le chiffre 1 suivi de n zéros : 10^3 = 1000 (trois zéros). Quand l'exposant est négatif, 10^(−n) = 1/10^n est un petit nombre décimal : 10^(−2) = 1/100 = 0,01. Les puissances de 10 servent à écrire rapidement les très grands et les très petits nombres.
L'idée à retenir
10ⁿ est le chiffre 1 suivi de n zéros : 10³ = 1 000. Un exposant négatif donne un petit nombre positif : 10⁻² = 1/100 = 0,01. Les puissances de 10 écrivent aussi bien les grands que les petits nombres.
Comprendre
Les puissances de 10 sont les plus faciles à calculer, parce que notre écriture des nombres est en base dix. Pour un exposant positif, 10^n est le chiffre 1 suivi d'exactement n zéros : le nombre de zéros est égal à l'exposant. Ainsi 10^1 = 10 (un zéro), 10^2 = 100 (deux zéros), 10^3 = 1000 (trois zéros), 10^6 = 1 000 000 (six zéros).
On retient aussi 10^0 = 1. Pour un exposant négatif, la puissance devient un petit nombre décimal, mais qui reste positif : 10^(−n) est l'inverse de 10^n, c'est-à-dire 1/10^n. Par exemple 10^(−1) = 1/10 = 0,1 ; 10^(−2) = 1/100 = 0,01 ; 10^(−3) = 1/1000 = 0,001. Le signe « moins » de l'exposant ne rend pas le nombre négatif : il indique seulement que le nombre est petit, plus petit que 1. Deux pièges reviennent souvent. Le premier est de compter les zéros de travers : 10^3 = 1000 (trois zéros), et non 100 (deux zéros).
Le second est de croire qu'un exposant négatif donne un nombre négatif : 10^(−2) vaut 0,01, un nombre positif entre 0 et 1, et non −100. Les puissances de 10 sont surtout très pratiques pour écrire les nombres immenses (une population, une distance dans l'espace) ou minuscules (la taille d'une cellule) sans aligner de longues suites de zéros : elles préparent la notation scientifique qui sera étudiée en 3e.
Le cours
Une puissance de 10 est une puissance dont la base est 10. Comme notre système de numération est en base dix, ces puissances ont une écriture décimale très simple. Pour un entier n supérieur ou égal à 1, 10^n est le nombre 1 suivi de n zéros : le nombre de zéros est exactement égal à l'exposant. On a ainsi 10^1 = 10, 10^2 = 100, 10^3 = 1000, 10^4 = 10 000, et plus généralement 10^6 = 1 000 000. Par convention, 10^0 = 1. Lorsque l'exposant est un entier négatif, la puissance de 10 est l'inverse de la puissance positive correspondante : 10^(−n) = 1/10^n.
C'est un nombre décimal strictement compris entre 0 et 1. Par exemple 10^(−1) = 1/10 = 0,1, 10^(−2) = 1/100 = 0,01 et 10^(−3) = 1/1000 = 0,001. Le signe négatif de l'exposant signale que le nombre est petit (inférieur à 1) : il ne rend jamais le nombre lui-même négatif. Deux erreurs sont fréquentes : compter un zéro de trop ou de moins (10^3 = 1000, trois zéros, pas 100), et confondre un exposant négatif avec un nombre négatif (10^(−2) = 0,01, un nombre positif). Les puissances de 10 permettent d'écrire de façon compacte les très grands nombres (10^9 = un milliard) comme les très petits (10^(−6) = un millionième).
Elles sont à la base de la notation scientifique, qui sera introduite en 3e pour écrire tout nombre NON NUL sous la forme a × 10^n, avec 1 ⩽ a < 10.
Vois cette notion fonctionner : la scène animée, plan par plan →
Les erreurs fréquentes
- On compte les zéros de travers : 10^3 = 100 (deux zéros au lieu de trois).
- L'exposant donne exactement le nombre de zéros : 10^3 = 1000, trois zéros comme l'exposant 3. De même 10^5 = 100 000 (cinq zéros).
- On croit qu'un exposant négatif rend le nombre négatif : 10^(−2) = −100.
- Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : 10^(−2) = 1/100 = 0,01, un nombre positif compris entre 0 et 1. Le « moins » indique seulement que le nombre est petit.
Tu maîtrises la notion si…
- Écrire 10^n (n positif) comme le chiffre 1 suivi de n zéros : 10^3 = 1000.
- Écrire 10^(−n) comme 1/10^n sous forme décimale : 10^(−2) = 0,01, un nombre positif.
- Reconnaître qu'une puissance de 10 sert à écrire de façon compacte les grands et les petits nombres.
Vérifie que tu as compris
Que vaut 10³ ?
Réponse 1000
10³ = 10 × 10 × 10 = 1000 (un 1 suivi de 3 zéros).
Écris 0,0001 sous la forme d'une puissance de 10.
Réponse 10⁻⁴
0,0001 = 1/10 000 = 1/10⁴ = 10⁻⁴. Pour un nombre plus petit que 1, l'exposant de 10 est NÉGATIF et compte les rangs après la virgule : ici quatre. 10⁴ vaut au contraire 10 000, 10⁻³ vaut 0,001 et 10⁻⁵ vaut 0,00001.
Écrit comme une puissance de 10, un milliard (1 000 000 000) vaut :
Réponse 10⁹
Un milliard est un 1 suivi de 9 zéros, donc 10⁹ (le nombre de zéros est égal à l'exposant).
S'entraîner sur cette notion
La scène s'anime pas à pas, la mascotte t'explique, puis tu t'entraînes. Gratuit pour commencer.
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Une puissance de 10 : le chiffre 1 suivi de zéros.
Le nombre de zéros suit l'exposant.
10³ = 1 000 (trois zéros) ; 10⁻² = 0,01 (petit décimal).
Exposant positif : des zéros ; négatif : un petit nombre positif.
10⁵ = 100 000 ; 10⁻³ = 0,001 ; 10⁻¹ = 0,1.
Compte les zéros ; pour le négatif, prends l'inverse 1/10ⁿ.
1 000 000 000 = 10⁹ (un 1 suivi de 9 zéros) ; 0,000000001 m = 10⁻⁹ m.
Compte les zéros du grand nombre, puis les décimales du petit.