Produit et quotient de puissances

En une phrase

Quand deux puissances ont la même base, on peut les combiner sans tout développer. Pour un produit, on garde la base et on ADDITIONNE les exposants : 2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7. Pour un quotient, on garde la base et on SOUSTRAIT les exposants : 5^6 ÷ 5^2 = 5^(6−2) = 5^4. Ces règles ne fonctionnent que si la base est la même.

Comprendre

Multiplier ou diviser des puissances de même base peut se faire très vite, sans repasser par la multiplication complète. La règle du produit dit que a^m × a^n = a^(m+n) : on garde la base commune et on additionne les exposants. On comprend pourquoi en développant : 2^3 × 2^4 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2).

En tout on multiplie sept fois le facteur 2, et sept c'est bien 3 + 4. Additionner les exposants revient donc simplement à compter le nombre total de facteurs. La règle du quotient dit que a^m ÷ a^n = a^(m−n) : on soustrait les exposants, car diviser enlève des facteurs. Par exemple 5^6 ÷ 5^2 = 5^(6−2) = 5^4. Deux points de vigilance.

D'abord, ces règles ne s'appliquent QUE si les deux puissances ont la même base : on ne peut pas combiner 2^3 × 5^2 de cette façon, car les bases 2 et 5 sont différentes. Ensuite, l'erreur la plus courante est de multiplier les exposants au lieu de les additionner : 2^3 × 2^4 vaut 2^7, et non 2^12. Multiplier les exposants correspond à une autre règle, celle de la puissance d'une puissance.

Le cours

Lorsqu'on multiplie ou divise deux puissances qui ont la même base, il existe des règles qui évitent de tout développer. Règle du produit : pour une même base a et deux exposants m et n, a^m × a^n = a^(m+n). On conserve la base et on additionne les exposants.

Justification par le développement : 2^3 × 2^4 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) est un produit de 3 + 4 = 7 facteurs égaux à 2, donc 2^7. Règle du quotient : a^m ÷ a^n = a^(m−n) (avec m supérieur ou égal à n en 4e). On conserve la base et on soustrait les exposants : 5^6 ÷ 5^2 = 5^(6−2) = 5^4, car diviser par 5^2 supprime deux facteurs 5. Condition indispensable : les deux puissances doivent avoir la MÊME base. On ne peut pas appliquer ces règles à 2^3 × 5^2, dont les bases 2 et 5 diffèrent (ce produit vaut 8 × 25 = 200, et non 10^5).

L'erreur la plus fréquente est de multiplier les exposants dans un produit : 2^3 × 2^4 = 2^7 (exposants additionnés), et surtout pas 2^12 (exposants multipliés). Multiplier les exposants concerne une situation différente, la puissance d'une puissance, étudiée ensuite.

Les erreurs fréquentes

On multiplie les exposants dans un produit : 2^3 × 2^4 = 2^(3×4) = 2^12.

Dans un produit de puissances de même base, on ADDITIONNE les exposants : 2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7. Multiplier les exposants est la règle de la puissance d'une puissance, pas celle du produit.

On applique la règle à des bases différentes : 2^3 × 5^2 = 10^5.

La règle exige la MÊME base. 2^3 × 5^2 ne se combine pas ainsi : 2^3 = 8 et 5^2 = 25, donc le produit vaut 8 × 25 = 200, et non 10^5.

Tu maîtrises la notion si…

• Appliquer a^m × a^n = a^(m+n) : additionner les exposants d'un produit de même base (2^3 × 2^4 = 2^7).
• Appliquer a^m ÷ a^n = a^(m−n) : soustraire les exposants d'un quotient de même base (5^6 ÷ 5^2 = 5^4).
• Vérifier que la base est la même avant d'appliquer ces règles.

Vérifie que tu as compris

1. Combien vaut 2³ × 2⁴ ?

   Réponse 2⁷

   Même base : on additionne les exposants. 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128 (et non 2¹² : multiplier les exposants, c'est la règle de la puissance d'une puissance, pas celle du produit).

2. Combien vaut 5⁶ ÷ 5² ?

   Réponse 5⁴

   Même base : pour un quotient on soustrait les exposants. 5⁶ ÷ 5² = 5⁶⁻² = 5⁴.

3. Pourquoi le produit 2³ × 5² ne peut-il pas s'écrire comme une seule puissance grâce à la règle des exposants ?

   Réponse Parce que les deux bases, 2 et 5, sont différentes

   La règle aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ n'est valable que pour deux puissances de MÊME base. Ici les bases 2 et 5 diffèrent : on calcule séparément 2³ = 8 et 5² = 25, puis 8 × 25 = 200.