Priorités avec les puissances — 4ᵉ

En une phrase

Quand il y a une puissance dans un calcul, tu la calcules avant les multiplications et les additions. L'ordre : parenthèses, puis puissances, puis × et ÷, puis + et −.

Comprendre

Quand un calcul mélange plusieurs opérations, on ne calcule pas de gauche à droite n'importe comment : il y a un ordre de priorité à respecter. Tu connais déjà une partie de cet ordre : d'abord les parenthèses, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions. Cette année, une nouvelle opération s'ajoute, et il faut savoir où la placer : la puissance.

Les puissances viennent juste après les parenthèses, donc AVANT les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions. L'ordre complet est donc : 1) les parenthèses, 2) les puissances, 3) les × et ÷, 4) les + et −. Regardons deux exemples.

Pour 2 + 3², on ne fait surtout pas (2 + 3)² : on calcule d'abord la puissance, 3² = 9, puis l'addition, 2 + 9 = 11. La puissance passe avant l'addition. Pour 5 × 2³, on ne multiplie pas 5 × 2 d'abord : on calcule d'abord 2³ = 8, puis 5 × 8 = 40. La puissance passe avant la multiplication. La méthode est toujours la même : repère la puissance, calcule-la en premier (après d'éventuelles parenthèses), réécris le calcul avec sa valeur, puis termine avec les autres opérations dans l'ordre.

En écrivant chaque étape, tu évites les erreurs et tu vois clairement ce que tu fais.

Le cours

Pour effectuer une suite de calculs comportant plusieurs opérations, on respecte des règles de priorité. L'ordre des priorités est le suivant : on calcule d'abord ce qui est entre parenthèses, puis les puissances, ensuite les multiplications et les divisions (de gauche à droite), et enfin les additions et les soustractions (de gauche à droite). La nouveauté en 4e est la place de la puissance : elle se calcule juste après les parenthèses, donc avant toutes les autres opérations (×, ÷, +, −).

Premier exemple : 2 + 3². Comme la puissance est prioritaire sur l'addition, on calcule d'abord 3² = 9, puis 2 + 9 = 11. Il serait faux de calculer 2 + 3 puis d'élever au carré. Deuxième exemple : 5 × 2³.

La puissance est prioritaire sur la multiplication, donc on calcule d'abord 2³ = 8, puis 5 × 8 = 40. Lorsqu'il y a des parenthèses, on les traite en tout premier : par exemple, dans (2 + 3)², on calcule d'abord 2 + 3 = 5 dans la parenthèse, puis 5² = 25. La bonne pratique consiste à écrire le calcul étape par étape, en remplaçant à chaque ligne l'opération prioritaire par son résultat, jusqu'à obtenir le résultat final. Cette rigueur dans l'ordre des opérations garantit que tout le monde obtient le même résultat pour un même calcul.

Les erreurs fréquentes

Dans 2 + 3², on calcule d'abord 2 + 3 = 5 puis on élève au carré, ce qui donne 25.

La puissance est prioritaire sur l'addition : on calcule d'abord 3² = 9, puis 2 + 9 = 11. Le résultat est 11, pas 25.

Dans 5 × 2³, on multiplie d'abord 5 × 2 = 10 puis on élève au cube, ou on fait 10³.

La puissance est prioritaire sur la multiplication : on calcule d'abord 2³ = 8, puis 5 × 8 = 40. Le résultat est 40.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer l'ordre des priorités : d'abord les parenthèses, puis les puissances, puis les × et ÷, enfin les + et −.
• Calculer la puissance avant l'addition : 2 + 3² = 2 + 9 = 11.
• Calculer la puissance avant la multiplication : 5 × 2³ = 5 × 8 = 40.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font 2 + 3² ?

   Réponse 11

   La puissance se calcule avant l'addition : 3² = 9, puis 2 + 9 = 11 (et non (2+3)² = 25).

2. Combien font 5 × 2² ?

   Réponse 20

   La puissance se calcule avant la multiplication : 2² = 4, puis 5 × 4 = 20 (et non (5 × 2)² = 100).

3. Compare les deux calculs (2 + 3)² et 2 + 3². Que peut-on dire de leurs résultats ?

   Réponse (2 + 3)² = 25 et 2 + 3² = 11 : les parenthèses changent tout

   Sans parenthèses, la puissance est prioritaire : 2 + 3² = 2 + 9 = 11. Avec les parenthèses, on calcule d'abord la somme : (2 + 3)² = 5² = 25. Les parenthèses passent avant tout, la puissance juste après.