Les puissances — 4ᵉ

En une phrase

a^n (a puissance n), c'est une multiplication où tu écris a un certain nombre de fois et où tu multiplies le tout. Le petit nombre en haut, n, te dit combien de fois tu écris a. Par exemple 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8.

Comprendre

Une puissance est une façon courte d'écrire une multiplication d'un même nombre par lui-même plusieurs fois. Dans l'écriture a^n, le grand nombre du bas, a, s'appelle la base : c'est le nombre que l'on répète. Le petit nombre en haut, n, s'appelle l'exposant : il indique combien de fois on écrit la base dans la multiplication.

Donc a^n = a × a × … × a, avec n facteurs tous égaux à a. Le piège le plus important est de ne pas confondre la puissance avec une simple multiplication par l'exposant. 2^3 ne vaut pas 2 × 3 = 6 ; il vaut 2 × 2 × 2 = 8, car l'exposant 3 dit qu'on écrit le 2 trois fois et qu'on les multiplie. De même 2^3 n'est pas 3^2 : 2^3 = 8 alors que 3^2 = 9, la base et l'exposant ne jouent pas le même rôle.

Deux cas se lisent à voix haute de façon particulière : a^2 se lit « a au carré » et a^3 « a au cube ». Quelques valeurs sont à connaître. a^1 = a : si on n'écrit la base qu'une seule fois, le résultat est la base elle-même. Les puissances de 10 sont très pratiques : 10^4 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000, c'est-à-dire le chiffre 1 suivi d'autant de zéros que l'exposant, ici 4 zéros.

Retiens l'essentiel : l'exposant compte le nombre de facteurs, pas une multiplication par lui-même, et 2^3 = 8.

Le cours

Une puissance est une notation qui abrège la multiplication d'un nombre par lui-même. Pour un nombre a et un entier n supérieur ou égal à 1, on note a^n le produit de n facteurs tous égaux à a : a^n = a × a × … × a (n fois). Le nombre a est appelé la base ; le nombre n, écrit en exposant (en petit, en haut), indique combien de fois la base apparaît dans le produit.

Ainsi 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8 : l'exposant 3 signifie que l'on écrit le 2 trois fois. Il ne faut pas confondre a^n avec a × n : 2^3 vaut 8 et non 2 × 3 = 6. De plus la base et l'exposant ne sont pas interchangeables : 2^3 = 8 mais 3^2 = 9. On lit a^2 « a au carré » et a^3 « a au cube ». Cas particuliers utiles : a^1 = a (la base écrite une seule fois).

Les puissances de 10 sont remarquables : 10^n est le chiffre 1 suivi de n zéros. Par exemple 10^4 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000, soit un 1 suivi de quatre zéros ; 10^2 = 100 et 10^3 = 1 000. Ces puissances de 10 servent notamment à écrire les grands nombres. L'essentiel à retenir : l'exposant compte le nombre de facteurs égaux à la base, et il ne s'agit jamais d'une multiplication de la base par l'exposant.

Les erreurs fréquentes

On calcule a^n comme une multiplication de la base par l'exposant : 2^3 = 2 × 3 = 6.

L'exposant indique le nombre de facteurs, pas un facteur. 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8 : on écrit le 2 trois fois et on multiplie, le résultat est 8 et non 6.

On échange la base et l'exposant en pensant que 2^3 et 3^2 donnent le même résultat.

La base et l'exposant ont des rôles différents : 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8, alors que 3^2 = 3 × 3 = 9. Ces deux puissances ne sont pas égales.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire la puissance a^n comme le produit de n facteurs tous égaux à a.
• Calculer une puissance simple en évitant la confusion avec une multiplication : 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8.
• Connaître les puissances de 10 : 10^4 = 10 000, c'est le chiffre 1 suivi de 4 zéros.

Vérifie que tu as compris

1. Que vaut 2³ (2 puissance 3) ?

   Réponse 8

   2³ = 2 × 2 × 2 = 8 (trois facteurs égaux à 2 ; ce n'est pas 2 × 3).

2. Sarah affirme que 2³ et 3² donnent le même résultat « parce que ce sont les mêmes chiffres ». Que faut-il lui répondre ?

   Réponse Elle a tort : 2³ = 8 et 3² = 9, car la base et l'exposant ont des rôles différents

   La base est le nombre que l'on répète, l'exposant compte les facteurs : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 tandis que 3² = 3 × 3 = 9. Les deux écritures ne donnent pas le même résultat.

3. Dans l'écriture 7⁴, quel nombre est l'exposant ?

   Réponse 4

   Dans l'écriture aⁿ, a est la base et n l'exposant : il compte les facteurs. 7⁴ se lit « 7 puissance 4 » et vaut 7 × 7 × 7 × 7 = 2401. Le 7 est la base, 28 est le produit 7 × 4 et 11 la somme 7 + 4.