Puissance d'exposant entier — 5ᵉ

En une phrase

Une puissance, c'est une multiplication du même nombre répété. Dans aⁿ, le grand nombre en bas (a) est la base, le petit nombre en haut (n) est l'exposant : il dit COMBIEN de fois on écrit la base dans le produit. Ainsi 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 : cinq facteurs égaux à 2.

Comprendre

Le carré (deux facteurs) et le cube (trois facteurs) sont des cas particuliers d'une même idée : la puissance. Écrire aⁿ, c'est multiplier n facteurs tous égaux à a. Deux mots à retenir : la base (le nombre que l'on répète, ici a) et l'exposant (le petit nombre en haut, ici n).

Le rôle de l'exposant est essentiel : il COMPTE le nombre de facteurs. Dans 2⁵, l'exposant 5 signifie « cinq facteurs égaux à 2 » : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Le piège le plus fréquent est de multiplier la base par l'exposant : 2⁵ n'est PAS 2 × 5 = 10, mais 32. Un autre piège est de mal compter les facteurs : 2 × 2 × 2 × 2 ne fait que quatre facteurs (= 16), il en manque un pour 2⁵. Un cas simple à connaître : a¹ = a, car un seul facteur égal à a, c'est a lui-même (par exemple 7¹ = 7).

Cette écriture puissance est un raccourci très pratique : au lieu d'écrire 3 × 3 × 3 × 3, on note 3⁴. Elle prépare aussi les puissances de 10, étudiées juste après, qui rendent les très grands nombres faciles à écrire. À savoir : en Cinquième, le programme ne demande officiellement que le carré et le cube ; l'exposant quelconque est un objectif de Quatrième.

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Le cours

Une puissance est le produit de plusieurs facteurs tous égaux. Pour un nombre a et un entier n (n ≥ 1), on note aⁿ le produit de n facteurs égaux à a : aⁿ = a × a × … × a (n facteurs). On lit « a exposant n » (ou « a puissance n »).

Le nombre a s'appelle la base, le nombre n s'appelle l'exposant. L'exposant compte le nombre de facteurs. Exemples : 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ; 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 ; 10² = 10 × 10 = 100. Le carré (n = 2) et le cube (n = 3) sont donc des puissances particulières.

Deux erreurs classiques : multiplier la base par l'exposant (2⁵ ≠ 2 × 5 = 10 ; on a 2⁵ = 32) et mal dénombrer les facteurs (2 × 2 × 2 × 2 = 16 ne fait que quatre facteurs, pas cinq). Un cas particulier utile : a¹ = a (un seul facteur). Par exemple 7¹ = 7 et 10¹ = 10. L'écriture en puissance est un raccourci commode pour un produit de facteurs égaux, qui évite les longues suites de multiplications.

Elle prépare directement les puissances de 10, qui servent à écrire les grands nombres. Remarque de programme : la Cinquième s'en tient officiellement au carré et au cube ; définir les puissances d'exposant quelconque est un objectif de Quatrième. Cette section est donc une anticipation, vue en avance.

Les erreurs fréquentes

On multiplie la base par l'exposant : 2⁵ = 2 × 5 = 10.

L'exposant COMPTE les facteurs, il ne se multiplie pas à la base : 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.

On compte mal les facteurs : 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 (seulement quatre facteurs).

L'exposant 5 demande CINQ facteurs égaux à 2 : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.

Tu maîtrises la notion si…

• Nommer la base et l'exposant dans une écriture aⁿ et dire que l'exposant compte les facteurs.
• Développer une puissance en produit et la calculer, par exemple 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
• Écrire un produit de facteurs égaux sous forme de puissance et connaître a¹ = a.

Vérifie que tu as compris

1. Combien vaut 2⁵ ?

   Réponse 32

   L'exposant 5 compte 5 facteurs : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 (et non 2 × 5 = 10).

2. Dans la puissance 3⁴, quel est l'exposant ?

   Réponse 4

   Dans 3⁴, la base est 3 et l'exposant est 4 : il indique 4 facteurs égaux à 3 (3 × 3 × 3 × 3 = 81).

3. Quelle écriture en puissance remplace le produit 7 × 7 × 7 ?

   Réponse 7³

   Le nombre répété est la base (7) et le nombre de facteurs est l'exposant (3) : 7 × 7 × 7 = 7³ = 343. L'écriture 3⁷ inverse la base et l'exposant, 7² ne compte que deux facteurs et 21 est le produit 7 × 3.