Le cube d'un nombre
2³, ça fait 8 ou 6 ?
En une phrase
« Mettre un nombre au cube », c'est faire le produit de trois facteurs égaux à ce nombre. On l'écrit avec un petit 3 en haut à droite : 2³ se lit « 2 au cube » et vaut 2 × 2 × 2 = 8. Ce n'est PAS 2 × 3.
L'idée à retenir
Le cube d'un nombre, c'est ce nombre multiplié trois fois par lui-même : a³ = a × a × a (trois facteurs égaux). Ainsi 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 (et non 2 × 3 = 6). C'est le volume d'un cube d'arête a.
Comprendre
Le cube d'un nombre a, noté a³, est le produit de trois facteurs égaux à a : a³ = a × a × a. Le petit 3 en exposant indique « prends trois facteurs égaux à a ». Ainsi 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. Le piège classique est de confondre l'exposant avec un facteur : 2³ n'est PAS 2 × 3 = 6, mais 2 × 2 × 2 = 8. Il faut aussi éviter de confondre le cube avec le carré : 2² = 4 (deux facteurs) tandis que 2³ = 8 (trois facteurs).
Pourquoi « cube » ? Parce que a³ est exactement le volume d'un cube dont l'arête mesure a : un cube d'arête 2 est composé de 2 × 2 × 2 = 8 petits cubes unité. Le mot vient de là, et c'est aussi pourquoi les volumes s'expriment en unités « au cube » (cm³, m³).
Le cube prolonge naturellement le carré : après deux facteurs (le carré), on passe à trois facteurs (le cube), avant de généraliser à un exposant quelconque au concept suivant.
Le cours
Le cube d'un nombre a est le produit de trois facteurs égaux à a. On le note a³ (a suivi d'un petit 3 en exposant) et on le lit « a au cube ». Par définition, a³ = a × a × a.
Exemples : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 ; 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 ; 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 ; 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. L'exposant 3 indique trois facteurs égaux à a. Deux erreurs sont à éviter : d'une part confondre l'exposant avec un facteur (2³ ≠ 2 × 3 = 6 ; on a bien 2³ = 8) ; d'autre part confondre cube et carré (2² = 4 avec deux facteurs, 2³ = 8 avec trois facteurs). Le cube a une signification géométrique : a³ est le volume d'un cube d'arête a.
Un cube d'arête 2 se remplit avec 2 × 2 × 2 = 8 petits cubes unité, d'où le nom « cube » et les unités de volume « au cube » (cm³, m³). Le cube généralise le carré : on est passé de deux facteurs à trois facteurs. L'étape suivante consiste à écrire n'importe quel nombre de facteurs grâce à un exposant entier quelconque.
Vois cette notion fonctionner : la scène animée, plan par plan →
Les erreurs fréquentes
- On multiplie la base par l'exposant : 2³ = 2 × 3 = 6.
- L'exposant 3 indique trois FACTEURS égaux à 2 : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 (et non 2 × 3).
- On confond le cube avec le carré : 2³ = 2 × 2 = 4.
- Le carré a deux facteurs (2² = 4) ; le cube en a trois : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
Tu maîtrises la notion si…
- Énoncer que a³ = a × a × a (« a au cube ») et le distinguer de a × 3.
- Calculer le cube d'un entier, par exemple 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
- Relier a³ au volume d'un cube d'arête a et le distinguer du carré a².
Vérifie que tu as compris
Combien vaut 2³ ?
Réponse 8
« 2 au cube » signifie 2 × 2 × 2 = 8 (et non 2 × 3 = 6). C'est le volume d'un cube d'arête 2.
Combien vaut 3³ ?
Réponse 27
3³ = 3 × 3 × 3 = 27 (trois facteurs). 9, c'est 3² (le carré), pas le cube.
Un cube a une arête de 4 cm. Quel est son volume ?
Réponse 64 cm³
Le volume d'un cube d'arête a vaut a³ = a × a × a : 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 cm³. Le nombre 16 est 4² (l'aire d'une face), 12 vient de 4 × 3 et 48 de 4 × 4 × 3.
S'entraîner sur cette notion
La scène s'anime pas à pas, la mascotte t'explique, puis tu t'entraînes. Gratuit pour commencer.
Ouvrir cette scène dans Azulma →Les quatre étapes pour maîtriser cette notion
Le petit 3 en haut à droite : « 2 au cube ».
L'exposant 3 compte les facteurs, il ne se multiplie pas à la base.
a³ = a × a × a : trois facteurs égaux.
Le cube 2×2×2 se remplit de 8 petits cubes : 2 × 2 × 2 = 8.
Il a fait 2 × 3 ; le cube, c'est 2 × 2 × 2 = 8.
L'exposant 3 demande trois facteurs égaux, pas une multiplication par 3.
Volume = arête³ = 4 × 4 × 4 = 64, soit 4³ = 64 cm³.
Le cube d'un nombre est le volume d'un cube ayant ce nombre pour arête.