Le carré d'un nombre

En une phrase

« Mettre un nombre au carré », c'est le multiplier par lui-même. On l'écrit avec un petit 2 en haut à droite : 5² se lit « 5 au carré » et vaut 5 × 5 = 25. Ce n'est PAS 5 × 2.

Comprendre

Le carré d'un nombre a, noté a², est tout simplement a × a : le nombre multiplié une fois par lui-même. Le petit 2 écrit en haut à droite s'appelle l'exposant ; ici il dit « prends deux facteurs égaux à a ». Ainsi 5² = 5 × 5 = 25, 3² = 3 × 3 = 9, 10² = 10 × 10 = 100. Le piège le plus courant est de confondre « au carré » avec « fois 2 » : 5² n'est PAS 5 × 2 = 10, mais bien 5 × 5 = 25. Pourquoi appelle-t-on cela un « carré » ?

Parce que a² est exactement l'aire d'un carré dont le côté mesure a : un carré de côté 5 est quadrillé en 5 rangées de 5 petites cases, soit 5 × 5 = 25 cases. Le mot « carré » vient de là. Certains nombres sont des carrés parfaits, car ils sont le carré d'un entier : 1 = 1², 4 = 2², 9 = 3², 16 = 4², 25 = 5², 36 = 6²…

Reconnaître ces carrés parfaits rend le calcul beaucoup plus rapide. Le programme demande de connaître les carrés des entiers de 0 à 12 : 0² = 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100, 11² = 121 et 12² = 144. Le carré est ta première puissance : le comprendre solidement prépare le cube, puis les puissances d'exposant quelconque.

Le cours

Le carré d'un nombre a est le produit de ce nombre par lui-même. On le note a² (a suivi d'un petit 2 en exposant) et on le lit « a au carré ». Par définition, a² = a × a.

Exemples : 5² = 5 × 5 = 25 ; 3² = 3 × 3 = 9 ; 10² = 10 × 10 = 100 ; 12² = 12 × 12 = 144. L'exposant 2 indique le nombre de facteurs : deux facteurs égaux à a. Attention à l'erreur classique : « au carré » ne signifie pas « multiplié par 2 ». 5² = 25 (et non 10), 7² = 49 (et non 14). Le carré a une signification géométrique : a² est l'aire d'un carré de côté a.

Un carré de côté 5 se découpe en 5 lignes de 5 carreaux, soit 25 carreaux : c'est pourquoi on parle de « carré » et pourquoi les aires s'expriment en unités « au carré » (cm², m²). Un nombre qui est le carré d'un entier est appelé carré parfait : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100 sont les dix premiers NON NULS (0 = 0² en est un aussi, et c'est le plus petit). Le programme de Cinquième demande de connaître les carrés des entiers de 0 à 12, soit 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 (= 11²) et 144 (= 12²).

Savoir les reconnaître accélère beaucoup les calculs et prépare le chapitre suivant, où l'on passera du carré (deux facteurs) au cube (trois facteurs) puis aux puissances d'exposant quelconque.

Les erreurs fréquentes

On interprète « a au carré » comme « a × 2 », donc 5² = 5 × 2 = 10.

Le carré, c'est le nombre multiplié PAR LUI-MÊME : 5² = 5 × 5 = 25. « Au carré » n'est pas « fois 2 ».

On additionne au lieu de multiplier : 5² = 5 + 5 = 10.

L'exposant 2 signifie deux FACTEURS égaux (un produit), pas une addition : 5² = 5 × 5 = 25.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que a² = a × a (« a au carré ») et le distinguer de a × 2.
• Calculer le carré d'un entier, par exemple 6² = 6 × 6 = 36.
• Relier a² à l'aire d'un carré de côté a et reconnaître un carré parfait (1, 4, 9, 16, 25…).

Vérifie que tu as compris

1. Combien vaut 5² ?

   Réponse 25

   « 5 au carré » signifie 5 × 5 = 25 (et non 5 × 2 = 10). C'est aussi l'aire d'un carré de côté 5.

2. Un élève écrit 7² = 14. Quelle est la bonne réponse ?

   Réponse 49

   « Au carré » n'est pas « fois 2 » : 7² = 7 × 7 = 49. L'erreur 14 vient de 7 × 2.

3. Une salle carrée a un côté de 9 m. Quelle est son aire ?

   Réponse 81 m²

   L'aire d'un carré de côté a vaut a² = a × a : 9² = 9 × 9 = 81 m². Le calcul 9 × 2 = 18 confond le carré avec le double, 36 est le périmètre (4 × 9) et 99 accole les deux chiffres.