Priorités avec les puissances — 5ᵉ

En une phrase

La puissance est prioritaire : on la calcule en premier, avant les × ÷ et avant les + −. Dans 3 + 2², on fait d'abord 2² = 4, puis 3 + 4 = 7 (et non 5² = 25). Attention aussi : −2² vaut −4, mais (−2)² vaut 4.

Comprendre

Tu connais déjà les priorités opératoires : d'abord les parenthèses, puis les × et ÷, enfin les + et −. Les puissances viennent s'insérer JUSTE APRÈS les parenthèses, donc AVANT tout le reste. On calcule donc les puissances en premier.

Exemple : dans 3 + 2², on calcule d'abord la puissance 2² = 4, puis l'addition 3 + 4 = 7. Le résultat est 7, et surtout pas 25 : écrire 3 + 2² = 5² = 25 reviendrait à additionner avant de faire la puissance, ce qui est faux. Autre exemple : 2 × 3² = 2 × 9 = 18 (la puissance 3² = 9 d'abord, puis la multiplication), et non (2 × 3)² = 36. Un cas délicat concerne le signe moins. L'écriture −2² signifie −(2²) : la puissance ne porte que sur le 2, donc −2² = −(4) = −4. En revanche (−2)², avec les parenthèses, élève le nombre −2 tout entier : (−2)² = (−2) × (−2) = 4. Pourquoi 4 et non −4 ?

Parce que le produit de deux nombres négatifs est positif : c'est une règle que tu démontreras en Quatrième et qu'on ADMET ici. Les parenthèses changent donc complètement le résultat : −2² = −4 mais (−2)² = 4. Retiens l'ordre complet : parenthèses, puis puissances, puis × ÷, puis + −.

Le cours

Les priorités opératoires s'enrichissent avec les puissances. L'ordre complet des calculs est : 1) les parenthèses ; 2) les puissances ; 3) les multiplications et divisions (de gauche à droite) ; 4) les additions et soustractions (de gauche à droite). La puissance se calcule donc avant les × ÷ et avant les + −.

Exemples. Pour 3 + 2² : on calcule d'abord la puissance, 2² = 4, puis l'addition, 3 + 4 = 7. Écrire 3 + 2² = 5² = 25 est une erreur : cela reviendrait à additionner 3 + 2 avant d'élever au carré. Pour 2 × 3² : la puissance d'abord, 3² = 9, puis la multiplication, 2 × 9 = 18 (et non (2 × 3)² = 36).

Cas du signe moins : l'écriture −2² se lit −(2²), car la puissance est prioritaire et ne porte que sur le 2 ; donc −2² = −(4) = −4. Avec des parenthèses, (−2)² élève le nombre −2 en entier : (−2)² = (−2) × (−2) = 4 — le produit de deux nombres négatifs étant positif, règle du programme de Quatrième qu'on admet ici. Ainsi −2² = −4 mais (−2)² = 4 : seules les parenthèses font porter la puissance sur le signe. Maîtriser la place de la puissance dans les priorités évite ces erreurs et prépare le calcul littéral, où l'on rencontrera des expressions comme x² + 3.

Les erreurs fréquentes

On additionne avant d'élever à la puissance : 3 + 2² = 5² = 25.

La puissance est prioritaire : 2² = 4 d'abord, puis 3 + 4 = 7. Le résultat est 7, pas 25.

On croit que −2² = 4 (comme (−2)²).

Sans parenthèses, la puissance ne porte que sur le 2 : −2² = −(2²) = −4. Seul (−2)², avec parenthèses, vaut 4.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que la puissance se calcule avant les × ÷ et avant les + − (juste après les parenthèses).
• Calculer une expression comme 3 + 2² = 7 ou 2 × 3² = 18 en faisant la puissance d'abord.
• Distinguer −2² = −4 de (−2)² = 4 en justifiant par la priorité et le rôle des parenthèses.

Vérifie que tu as compris

1. Combien vaut 3 + 2² ?

   Réponse 7

   La puissance passe avant l'addition : 2² = 4 d'abord, puis 3 + 4 = 7 (et non 5² = 25).

2. Combien valent (−2)² puis −2² ?

   Réponse 4 puis −4

   (−2)² = (−2) × (−2) = 4. Mais −2² = −(2²) = −(4) = −4 : ici la puissance ne porte que sur le 2.

3. Dans le calcul 5 × 2³, par quoi doit-on commencer ?

   Réponse par 2³, qui vaut 8

   La puissance se calcule avant la multiplication : 2³ = 8, puis 5 × 8 = 40. Commencer par 5 × 2 = 10 donnerait 10³ = 1 000, un résultat complètement différent.