Les puissances de 10 — 5ᵉ

En une phrase

Une puissance de 10, c'est 10 multiplié plusieurs fois par 10 : 10ⁿ = 10 × 10 × … × 10, avec n facteurs. Comme chaque facteur 10 ajoute un zéro, on remarque ensuite que 10ⁿ s'écrit « 1 » suivi de n zéros : 10² = 100 (2 zéros), 10³ = 1 000 (3 zéros), 10⁶ = 1 000 000 (6 zéros). Elles servent à écrire rapidement les grands nombres.

Comprendre

Parmi toutes les puissances, celles de 10 sont particulièrement utiles. Comme 10ⁿ = 10 × 10 × … × 10 (n facteurs), chaque facteur 10 ajoute un zéro : le résultat est un 1 suivi de n zéros. Ainsi 10² = 100 (deux zéros), 10³ = 1 000 (trois zéros), 10⁶ = 1 000 000 (six zéros).

L'exposant donne DIRECTEMENT le nombre de zéros : c'est la règle à retenir. Deux pièges : d'abord ne pas confondre 10³ avec 10 × 3 = 30 (10³ vaut 1 000) ; ensuite bien compter les zéros, car 10⁶ n'est pas 100 000 (cinq zéros) mais 1 000 000 (six zéros). Ces puissances sont la clé pour écrire les grands nombres sans aligner d'innombrables zéros, et pour comprendre les préfixes des unités : kilo signifie mille, soit 10³ (1 kilomètre = 1 000 mètres) ; méga signifie un million, soit 10⁶ (1 mégaoctet ≈ 1 000 000 d'octets).

Retenir « exposant = nombre de facteurs 10, donc nombre de zéros » te fait lire et écrire les grands nombres d'un coup d'œil. À savoir : en Cinquième, le programme ne demande que le cube de 10 (10³ = 1 000) ; les puissances de 10 au-delà sont un objectif de Quatrième, découvert ici EN AVANCE. Les préfixes kilo et méga, eux, sont bien au programme du cycle.

Le cours

Une puissance de 10 est une puissance dont la base est 10. Comme 10ⁿ = 10 × 10 × … × 10 (n facteurs) et que multiplier par 10 revient à ajouter un zéro, la puissance 10ⁿ s'écrit avec un 1 suivi de n zéros. Autrement dit, l'exposant est égal au nombre de zéros. Exemples : 10¹ = 10 (un zéro) ; 10² = 100 (deux zéros) ; 10³ = 1 000 (trois zéros) ; 10⁶ = 1 000 000 (six zéros).

Cette règle permet d'écrire très vite les grands nombres. Attention à deux erreurs : ne pas calculer 10³ comme 10 × 3 = 30 (c'est 1 000) ; et compter soigneusement les zéros, car 10⁶ = 1 000 000 possède six zéros, pas cinq. Les puissances de 10 servent aussi à comprendre les préfixes des unités de mesure : le préfixe kilo vaut mille, soit 10³ (1 km = 10³ m = 1 000 m) ; le préfixe méga vaut un million, soit 10⁶ (1 Mo ≈ 10⁶ octets).

Elles préparent, plus tard au collège, l'écriture des très grands et très petits nombres (notation scientifique), mais dès la 5e elles simplifient la lecture des grands nombres. Remarque de programme : la Cinquième n'exige que le cube de 10 ; les puissances de 10 d'exposant supérieur relèvent de la Quatrième et sont ici une anticipation, vue en avance.

Les erreurs fréquentes

On multiplie 10 par l'exposant : 10³ = 10 × 3 = 30.

10³ est un produit de trois facteurs 10 : 10 × 10 × 10 = 1 000. L'exposant donne le nombre de zéros, pas un facteur.

On compte mal les zéros : 10⁶ = 100 000 (cinq zéros).

L'exposant 6 donne SIX zéros : 10⁶ = 1 000 000 (un million).

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que 10ⁿ s'écrit avec un 1 suivi de n zéros (l'exposant = nombre de zéros).
• Écrire une puissance de 10, par exemple 10⁶ = 1 000 000.
• Relier les puissances de 10 aux préfixes kilo (10³) et méga (10⁶) et aux grands nombres.

Vérifie que tu as compris

1. Combien vaut 10³ ?

   Réponse 1 000

   10³ = un 1 suivi de 3 zéros = 1 000 (et non 10 × 3 = 30).

2. Combien de zéros compte 10⁶ (un million) ?

   Réponse 6 zéros

   10⁶ = 1 000 000 : un 1 suivi de 6 zéros. C'est le préfixe méga (10⁶).

3. Un kilomètre vaut 1 000 mètres. À quelle puissance de 10 correspond le préfixe kilo ?

   Réponse 10³

   1 000 s'écrit avec un 1 suivi de 3 zéros, donc 1 000 = 10³ : le préfixe kilo vaut 10³. Le préfixe méga, lui, vaut 10⁶ (un million), et 10² ne fait que 100.