Problèmes : tirages avec ou sans remise

L'essentiel

Beaucoup d'exercices de probabilités parlent de tirages : on tire une boule dans une urne, un jeton dans un sac, une carte dans un paquet. Pour un seul tirage au hasard, on applique la règle habituelle : P = nombre de cas favorables ÷ nombre total de cas. Exemple : une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues (5 en tout), donc P(rouge) = 3/5. Quand on tire PLUSIEURS fois de suite, une question importante se pose : remet-on l'objet tiré ou non ?

AVEC remise, on repose la boule dans l'urne après chaque tirage : le nombre de boules ne change pas, donc les probabilités restent les mêmes à chaque fois. SANS remise, on garde la boule : il y a une boule de moins, donc les probabilités CHANGENT au tirage suivant. Exemple : après avoir tiré une rouge sans la remettre, il reste 2 rouges sur 4 boules, donc la probabilité de tirer encore une rouge devient 2/4 = 1/2 (au lieu de 3/5).

Pour les expériences à deux épreuves, un tableau à double entrée permet de lister et de compter toutes les issues sans en oublier.

Comprendre

Un problème de TIRAGE se ramène à l'équiprobabilité : P = cas favorables ÷ cas possibles (urne 3 rouges + 2 bleues → P(rouge) = 3/5). La distinction clé pour des tirages successifs : AVEC REMISE, on repose l'objet, l'effectif total est constant, les probabilités sont IDENTIQUES à chaque tirage ; SANS REMISE, l'objet reste sorti, l'effectif diminue, les probabilités CHANGENT. Exemple : urne 3 rouges / 2 bleues.

Premier tirage : P(rouge) = 3/5. Si l'on ne remet pas une rouge tirée, il reste 2 rouges sur 4 boules → P(rouge au 2e tirage) = 2/4 = 1/2 ; avec remise, ce serait resté 3/5. OUTILS DE DÉNOMBREMENT : le tableau à double entrée (une ligne par issue de la 1re épreuve, une colonne par issue de la 2e) et l'arbre permettent de compter les issues d'une expérience à deux épreuves (deux dés → tableau 6 × 6 = 36 cases). PIÈGE : ne pas garder la même probabilité au second tirage d'un tirage sans remise — l'effectif total ET l'effectif favorable ont pu changer.

Le cours

Ce chapitre applique tout le vocabulaire des probabilités à des problèmes de tirages. UN SEUL TIRAGE. On tire un objet au hasard : la règle d'équiprobabilité s'applique, P = nombre de cas favorables ÷ nombre total de cas.

Exemple : une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues, soit 5 boules ; P(rouge) = 3/5 et P(bleue) = 2/5. TIRAGES SUCCESSIFS : AVEC OU SANS REMISE. Lorsqu'on tire plusieurs objets l'un après l'autre, il faut préciser si on remet ou non l'objet tiré. AVEC REMISE : on repose l'objet après chaque tirage.

Le contenu de l'urne est identique à chaque fois, donc les probabilités NE CHANGENT PAS d'un tirage à l'autre. SANS REMISE : on garde l'objet tiré. Il y a alors un objet de moins au tirage suivant : le total diminue, et l'effectif favorable a pu diminuer aussi, donc les probabilités CHANGENT.

Exemple : urne 3 rouges / 2 bleues. Au premier tirage, P(rouge) = 3/5. Si on tire une rouge et qu'on ne la remet pas, il reste 2 rouges sur 4 boules, donc la probabilité de tirer encore une rouge devient 2/4 = 1/2. Avec remise, elle serait restée 3/5. DÉNOMBRER AVEC UN TABLEAU. Pour une expérience à deux épreuves, un tableau à double entrée liste toutes les issues : une ligne par issue de la première épreuve, une colonne par issue de la seconde.

Pour deux dés, le tableau a 6 lignes et 6 colonnes, soit 36 cases (36 issues) ; on y repère facilement, par exemple, les 6 cases dont la somme vaut 7. À RETENIR : (1) un tirage au hasard se traite par équiprobabilité (favorables ÷ total) ; (2) avec remise → probabilités constantes ; sans remise → probabilités qui changent ; (3) le tableau à double entrée aide à dénombrer les issues.

Les erreurs fréquentes

Dans un tirage sans remise, on garde la même probabilité au second tirage (encore 3/5 après avoir tiré et gardé une rouge).

Sans remise, l'urne a changé : il reste 2 rouges sur 4 boules, donc la probabilité devient 2/4 = 1/2, pas 3/5.

On oublie de compter le nombre TOTAL de cas (on divise par le nombre de couleurs, par exemple par 2).

Le dénominateur est le nombre total d'objets. Pour 3 rouges et 2 bleues, le total est 5 : P(rouge) = 3/5, et non 3/2.

Tu maîtrises la notion si…

• Calculer une probabilité dans un problème de tirage par équiprobabilité (cas favorables ÷ cas total).
• Distinguer un tirage avec remise (probabilités constantes) d'un tirage sans remise (probabilités qui changent).
• Dénombrer les issues d'une expérience à deux épreuves à l'aide d'un tableau à double entrée.

Vérifie que tu as compris

1. Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir une rouge ?

   Réponse 3/5

   Il y a 3 boules rouges favorables sur 5 boules au total (3 + 2). P(rouge) = 3/5. (2/5 serait la probabilité d'une bleue.)

2. Urne de 3 rouges et 2 bleues. On tire une rouge et on la garde (tirage SANS remise). Quelle est alors la probabilité de tirer encore une rouge ?

   Réponse 1/2

   Sans remise, il reste 2 rouges sur 4 boules : P(rouge) = 2/4 = 1/2. Les probabilités changent (avec remise, elle serait restée 3/5).

3. Un sac contient 4 jetons bleus, 5 jetons rouges et 1 jeton vert. Quelle est la probabilité de tirer un jeton bleu ?

   Réponse 2/5

   Le sac contient 4 + 5 + 1 = 10 jetons équiprobables, dont 4 bleus : P(bleu) = 4/10 = 2/5. Le dénominateur est TOUJOURS le nombre total de jetons. (4/6 divise par les jetons qui ne sont pas bleus ; 1/3 divise par le nombre de couleurs ; 10/4 inverse la fraction et dépasse 1.)