Expérience à deux épreuves

L'essentiel

Parfois, une expérience se fait en deux temps : on lance une première pièce, puis une seconde ; ou bien un dé, puis une pièce. On parle d'une expérience à deux épreuves. Pour être sûr de n'oublier aucun résultat possible, on dessine un arbre des possibles.

La première épreuve donne les premières branches (pour une pièce : Pile ou Face). Puis, au bout de chaque branche, on repart avec les possibilités de la seconde épreuve. En suivant un chemin complet, de la racine jusqu'à une feuille, on obtient une issue de l'expérience.

Exemple : avec deux pièces, l'arbre a 2 branches (P, F), puis 2 branches à chaque fois, ce qui fait 2 × 2 = 4 chemins : les issues sont PP, PF, FP et FF. Avec un dé puis une pièce, il y a 6 branches puis 2 branches : 6 × 2 = 12 issues. L'arbre sert à DÉNOMBRER : le nombre total d'issues est le produit du nombre d'issues de chaque épreuve.

Comprendre

Une EXPÉRIENCE À DEUX ÉPREUVES est la succession de deux expériences aléatoires. Son outil de représentation est l'ARBRE DES POSSIBLES : un nœud racine, un premier niveau de branches (les issues de la 1re épreuve), puis, à partir de chaque branche, un second niveau (les issues de la 2e épreuve). Une issue de l'expérience complète = un chemin de la racine à une feuille.

DÉNOMBREMENT : le nombre total d'issues est le PRODUIT du nombre d'issues de chaque épreuve. Deux pièces → 2 × 2 = 4 issues (PP, PF, FP, FF) ; un dé puis une pièce → 6 × 2 = 12 issues ; deux dés → 6 × 6 = 36 issues. L'arbre garantit qu'on n'oublie aucune issue et qu'on ne compte pas deux fois la même.

Attention à ne pas ADDITIONNER les nombres d'issues (6 + 2 = 8 est faux) : on les MULTIPLIE (6 × 2 = 12). Attention aussi : PF et FP sont deux issues DIFFÉRENTES (l'ordre compte), donc deux pièces donnent 4 issues et non 3.

Le cours

Ce chapitre introduit les expériences en deux temps et l'arbre, outil clé pour les dénombrer. EXPÉRIENCE À DEUX ÉPREUVES. C'est la succession de deux expériences aléatoires : lancer deux pièces, lancer un dé puis une pièce, tirer deux boules l'une après l'autre.

L'ARBRE DES POSSIBLES. On le construit de gauche à droite : un nœud de départ (la racine), puis un premier niveau de branches correspondant aux issues de la première épreuve. À l'extrémité de chaque branche, on ajoute un second niveau de branches pour les issues de la seconde épreuve.

Un chemin complet, de la racine à une feuille, représente une issue de l'expérience entière. Exemple des deux pièces : niveau 1 = P ou F ; puis, sous P : P ou F, et sous F : P ou F. On obtient 4 chemins : PP, PF, FP, FF. DÉNOMBRER LES ISSUES.

Le nombre total d'issues est le produit du nombre d'issues de chaque épreuve. Deux pièces : 2 × 2 = 4. Un dé puis une pièce : 6 × 2 = 12. Deux dés : 6 × 6 = 36. On peut aussi ranger les issues dans un tableau à double entrée (une ligne par issue de la 1re épreuve, une colonne par issue de la 2e). PIÈGES. (1) On MULTIPLIE les nombres d'issues, on ne les additionne pas : 6 × 2 = 12, pas 6 + 2 = 8. (2) L'ordre compte : PF (Pile puis Face) et FP (Face puis Pile) sont deux issues distinctes ; il y a donc 4 issues avec deux pièces, pas 3. À RETENIR : (1) une expérience à deux épreuves se représente par un arbre ; (2) une issue = un chemin complet ; (3) nombre d'issues = produit des nombres d'issues de chaque épreuve.

Les erreurs fréquentes

On additionne les nombres d'issues des deux épreuves (dé puis pièce : 6 + 2 = 8).

On MULTIPLIE : chaque issue de la 1re épreuve se combine avec chaque issue de la 2e. Dé puis pièce = 6 × 2 = 12 issues.

On oublie que l'ordre compte : deux pièces donneraient 3 issues (PP, PF/FP confondues, FF).

PF (Pile puis Face) et FP (Face puis Pile) sont deux chemins différents de l'arbre : deux pièces donnent 4 issues (PP, PF, FP, FF).

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître une expérience à deux épreuves et la représenter par un arbre des possibles.
• Lister les issues d'une expérience à deux épreuves en suivant les chemins de l'arbre.
• Dénombrer les issues comme le produit du nombre d'issues de chaque épreuve (sans les additionner).

Vérifie que tu as compris

1. On lance deux pièces de monnaie. Combien d'issues possibles compte cette expérience à deux épreuves ?

   Réponse 4

   L'arbre des possibles donne 2 × 2 = 4 issues : PP, PF, FP et FF. (3 serait faux : PF et FP sont deux issues distinctes.)

2. On lance un dé à 6 faces PUIS une pièce. Combien d'issues possède cette expérience à deux épreuves ?

   Réponse 12

   Chacune des 6 faces du dé se combine avec Pile ou Face : 6 × 2 = 12 issues. L'arbre a 6 branches, puis 2 branches à chaque fois.

3. Dans l'arbre des possibles d'une expérience à deux épreuves, que représente un chemin complet ?

   Réponse Une issue de l'expérience

   Un chemin complet part de la racine et va jusqu'au bout de l'arbre : il décrit un résultat possible de l'expérience entière, c'est-à-dire une issue. Le nombre de chemins donne donc le nombre total d'issues.