L'événement contraire

L'essentiel

L'événement contraire de A, c'est « le contraire de A » : il se produit exactement quand A ne se produit pas. On le note Ā et on le lit « non A ». Par exemple, le contraire de « faire 6 » avec un dé, c'est « ne pas faire 6 ».

Un événement et son contraire se partagent TOUTES les issues : chaque résultat réalise soit A, soit son contraire, jamais les deux. C'est pourquoi la somme de leurs probabilités vaut toujours 1 : P(A) + P(Ā) = 1. On en déduit une formule très pratique : P(Ā) = 1 − P(A). Exemple : P(faire 6) = 1/6, donc P(ne pas faire 6) = 1 − 1/6 = 5/6. Cette astuce évite parfois de longs calculs : au lieu de compter beaucoup d'issues favorables, on calcule la probabilité du contraire (plus rapide) puis on fait 1 moins ce résultat.

Comprendre

L'ÉVÉNEMENT CONTRAIRE de A, noté Ā, se réalise exactement quand A ne se réalise pas. Propriété fondamentale : un événement et son contraire forment une partition des issues (ensemble, ils recouvrent toutes les issues, et ils n'en partagent aucune). Il en découle P(A) + P(Ā) = 1, donc P(Ā) = 1 − P(A).

Exemple de référence : pour un dé équilibré, A = « faire 6 » a pour probabilité 1/6 ; son contraire Ā = « ne pas faire 6 » a pour probabilité 1 − 1/6 = 5/6 (on peut vérifier : les faces 1, 2, 3, 4, 5 sont favorables, soit 5/6). INTÉRÊT : la formule P(Ā) = 1 − P(A) est un raccourci. Quand un événement a beaucoup d'issues favorables (« au moins un… », « ne pas… »), il est souvent plus rapide de calculer la probabilité de son contraire, puis de soustraire à 1. Attention : le contraire de « faire 6 » est « faire 1, 2, 3, 4 ou 5 », pas « faire 1 ».

Le contraire nie complètement l'événement.

Le cours

L'événement contraire est un outil de calcul central en probabilités. DÉFINITION. L'événement contraire de A, noté Ā (lu « non A »), est celui qui se réalise exactement lorsque A ne se réalise pas.

Exemple : avec un dé, le contraire de « faire 6 » est « ne pas faire 6 », c'est-à-dire « faire 1, 2, 3, 4 ou 5 ». PROPRIÉTÉ CLÉ. Un événement et son contraire se partagent toutes les issues : chaque issue réalise soit A, soit Ā, et jamais les deux à la fois.

Leurs probabilités s'ajoutent donc pour donner la totalité : P(A) + P(Ā) = 1. FORMULE. On en déduit : P(Ā) = 1 − P(A), et réciproquement P(A) = 1 − P(Ā). Exemple : P(faire 6) = 1/6 donne P(ne pas faire 6) = 1 − 1/6 = 5/6. On peut le vérifier directement en comptant : « ne pas faire 6 » a 5 issues favorables (1, 2, 3, 4, 5) sur 6, soit 5/6. POURQUOI C'EST UTILE.

La formule sert de raccourci : lorsqu'un événement est compliqué à dénombrer mais que son contraire est simple, on calcule la probabilité du contraire, puis on soustrait à 1. C'est particulièrement efficace pour les événements du type « au moins un… ». PIÈGE À ÉVITER. Le contraire nie totalement l'événement : le contraire de « faire un nombre pair » est « faire un nombre impair » (et non « faire 1 », qui n'est qu'une des trois issues impaires).

À RETENIR : (1) Ā se réalise quand A ne se réalise pas ; (2) P(A) + P(Ā) = 1 ; (3) P(Ā) = 1 − P(A).

Les erreurs fréquentes

On calcule P(Ā) = 1 + P(A) ou P(Ā) = P(A), au lieu de 1 − P(A).

Comme P(A) + P(Ā) = 1, on isole P(Ā) = 1 − P(A). Pour P(A) = 1/6 : P(Ā) = 1 − 1/6 = 5/6 (et non 7/6 ni 1/6).

On confond le contraire avec une seule autre issue : le contraire de « faire 6 » serait « faire 1 ».

Le contraire nie tout l'événement : le contraire de « faire 6 » est « faire 1, 2, 3, 4 ou 5 » (5 issues), donc P = 5/6, pas 1/6.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire l'événement contraire d'un événement donné (toutes les issues qui ne réalisent pas A).
• Appliquer la relation P(Ā) = 1 − P(A) pour calculer la probabilité de l'événement contraire.
• Utiliser P(A) + P(Ā) = 1 comme raccourci de calcul et vérifier par dénombrement.

Vérifie que tu as compris

1. Comment calcule-t-on la probabilité de l'événement contraire de A (noté Ā) ?

   Réponse P(Ā) = 1 − P(A)

   L'événement contraire Ā se réalise exactement quand A ne se réalise pas. Comme P(A) + P(Ā) = 1, on a P(Ā) = 1 − P(A).

2. Pour un dé équilibré, P(faire 6) = 1/6. Quelle est la probabilité de NE PAS faire 6 ?

   Réponse 5/6

   « Ne pas faire 6 » est l'événement contraire de « faire 6 » : P = 1 − 1/6 = 5/6. (On peut vérifier : les 5 faces 1, 2, 3, 4, 5 sont favorables, soit 5/6.)

3. Dans un sac de billes de plusieurs couleurs, on considère l'événement « tirer une bille rouge ». Quel est son événement contraire ?

   Réponse Tirer une bille qui n'est pas rouge

   L'événement contraire regroupe toutes les issues qui ne réalisent pas l'événement : ici, toutes les billes qui ne sont pas rouges (bleues, vertes, jaunes…). « Tirer une bille bleue » serait trop restrictif s'il existe d'autres couleurs dans le sac.