Calculer une probabilité avec un arbre

L'essentiel

Quand on a construit l'arbre d'une expérience à deux épreuves, on peut écrire sur chaque branche la probabilité de l'issue qu'elle représente. Pour une pièce équilibrée, chaque branche vaut 1/2 (Pile ou Face). Deux règles permettent alors de tout calculer : (1) la probabilité d'un chemin complet s'obtient en MULTIPLIANT les probabilités des branches qu'on parcourt ; (2) si un événement peut se réaliser par plusieurs chemins, on ADDITIONNE les probabilités de ces chemins.

Exemple avec deux pièces équilibrées : le chemin PP parcourt deux branches à 1/2, donc P(PP) = 1/2 × 1/2 = 1/4. Pour « obtenir exactement une Face », deux chemins conviennent, PF et FP, donc P = 1/4 + 1/4 = 1/2. Petite vérification bien utile : la somme des probabilités de tous les chemins doit toujours faire 1 (ici 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1).

Comprendre

Un arbre PONDÉRÉ porte sur chaque branche la probabilité de l'issue correspondante. DEUX RÈGLES. (1) Règle du PRODUIT : la probabilité d'un chemin (de la racine à une feuille) est le produit des probabilités des branches parcourues. (2) Règle de la SOMME : la probabilité d'un événement réalisé par plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins. Exemple de référence, deux pièces équilibrées (chaque branche = 1/2) : P(PP) = 1/2 × 1/2 = 1/4 ; P(exactement une Face) = P(PF) + P(FP) = 1/4 + 1/4 = 1/2 ; P(au moins une Face) = 1 − P(PP) = 1 − 1/4 = 3/4 (ou PF + FP + FF = 3/4).

CONTRÔLE : la somme des probabilités de tous les chemins vaut 1 (1/4 × 4 = 1). PIÈGES : (1) on MULTIPLIE le long d'un chemin (produit) et on ADDITIONNE entre chemins différents (somme) — ne pas confondre les deux ; (2) chaque probabilité de branche est bien inférieure ou égale à 1, donc leur produit est plus PETIT que chacune (1/4 < 1/2), ce qui est normal : un chemin précis est plus rare qu'une seule épreuve.

Le cours

Ce chapitre transforme l'arbre des possibles en outil de calcul de probabilités. L'ARBRE PONDÉRÉ. On reprend l'arbre de l'expérience à deux épreuves et on inscrit sur chaque branche la probabilité de l'issue qu'elle représente.

Pour deux pièces équilibrées, chaque branche (Pile ou Face) vaut 1/2. RÈGLE DU PRODUIT (le long d'un chemin). La probabilité d'un chemin, de la racine à une feuille, est le produit des probabilités des branches parcourues. Exemple : le chemin PP passe par deux branches à 1/2, donc P(PP) = 1/2 × 1/2 = 1/4. De même P(PF) = P(FP) = P(FF) = 1/4. RÈGLE DE LA SOMME (entre plusieurs chemins).

Si un événement se réalise par plusieurs chemins, sa probabilité est la somme des probabilités de ces chemins. Exemple : « obtenir exactement une Face » se produit par PF ou FP, donc P = 1/4 + 1/4 = 1/2. VÉRIFICATION. La somme des probabilités de tous les chemins d'un arbre vaut toujours 1 : ici 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1. LIEN AVEC L'ÉVÉNEMENT CONTRAIRE.

Pour « au moins une Face », il est plus rapide de passer par le contraire « aucune Face » = PP : P(au moins une Face) = 1 − P(PP) = 1 − 1/4 = 3/4. PIÈGES. (1) Ne pas confondre les deux règles : on multiplie SUR un chemin, on additionne ENTRE des chemins. (2) Le produit de deux probabilités (inférieures à 1) est plus petit que chacune (1/4 < 1/2) : c'est normal, une issue précise est plus rare qu'un simple résultat d'épreuve. À RETENIR : (1) probabilité d'un chemin = produit des branches ; (2) probabilité d'un événement = somme des chemins ; (3) le total des chemins fait 1.

Les erreurs fréquentes

On additionne les probabilités le long d'un chemin (P(PP) = 1/2 + 1/2 = 1).

Le long d'un chemin, on MULTIPLIE : P(PP) = 1/2 × 1/2 = 1/4. On additionne seulement ENTRE des chemins différents d'un même événement.

Pour « exactement une Face », on ne garde qu'un seul chemin et on répond 1/4.

Deux chemins réalisent l'événement (PF et FP) : on ajoute leurs probabilités, 1/4 + 1/4 = 1/2.

Tu maîtrises la notion si…

• Calculer la probabilité d'un chemin comme le produit des probabilités des branches parcourues.
• Calculer la probabilité d'un événement en additionnant les probabilités des chemins qui le réalisent.
• Vérifier que la somme des probabilités de tous les chemins vaut 1 et relier à l'événement contraire.

Vérifie que tu as compris

1. On lance deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité d'obtenir Pile puis Pile (PP) ?

   Réponse 1/4

   Les quatre issues PP, PF, FP, FF sont équiprobables et PP en est une seule : P(PP) = 1/4. On retrouve la même valeur par le produit des branches du chemin : 1/2 × 1/2 = 1/4.

2. On lance deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une Face ?

   Réponse 1/2

   Deux chemins donnent exactement une Face : PF et FP. On additionne leurs probabilités : 1/4 + 1/4 = 1/2.

3. On tourne deux roues indépendantes : la roue A donne « rouge » avec la probabilité 2/5, la roue B avec la probabilité 1/2 (le résultat de l'une n'influence pas l'autre). Quelle est la probabilité d'obtenir rouge sur les deux roues ?

   Réponse 1/5

   La probabilité d'un chemin est le PRODUIT des probabilités des branches parcourues : 2/5 × 1/2 = 2/10 = 1/5. (9/10 vient de l'addition 2/5 + 1/2, or on n'additionne qu'ENTRE des chemins différents d'un même événement.)