Probabilité d'un événement

L'essentiel

Une expérience aléatoire, c'est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance : lancer un dé, tirer une carte, jouer à pile ou face. Chaque résultat possible s'appelle une issue. Un événement, c'est une « famille » d'issues qui nous intéresse (par exemple « obtenir un nombre pair »).

Quand toutes les issues ont la même chance de sortir (on dit qu'elles sont ÉQUIPROBABLES, comme les 6 faces d'un dé équilibré), la probabilité d'un événement se calcule en comptant : P(événement) = nombre d'issues favorables ÷ nombre total d'issues. Exemple : pour un dé équilibré, « obtenir un nombre pair » correspond aux faces 2, 4 et 6, soit 3 issues favorables sur 6 issues en tout : P(pair) = 3/6 = 1/2. « Faire 6 » ne correspond qu'à une seule face : P(faire 6) = 1/6. Une probabilité est toujours un nombre entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain).

Comprendre

Une EXPÉRIENCE ALÉATOIRE possède plusieurs ISSUES (les résultats possibles). Un ÉVÉNEMENT est un ensemble d'issues. La règle de calcul ne vaut que dans le cas d'ÉQUIPROBABILITÉ (toutes les issues ont la même chance) : P(événement) = nombre d'issues favorables ÷ nombre total d'issues.

La démarche est toujours la même : (1) lister toutes les issues possibles et les compter, (2) compter parmi elles celles qui réalisent l'événement (les issues favorables), (3) écrire la fraction favorables/total et la simplifier. Exemple du dé équilibré (6 issues : 1, 2, 3, 4, 5, 6) : P(nombre pair) = 3/6 = 1/2 car 2, 4, 6 sont favorables ; P(faire 6) = 1/6. ENCADREMENT : une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. P = 0 signifie un événement impossible (« faire 7 » avec un dé), P = 1 un événement certain (« obtenir un nombre de 1 à 6 »). Attention : cette formule ne s'applique qu'en équiprobabilité ; il faut compter le nombre TOTAL d'issues, et non le nombre d'issues favorables seulement.

Le cours

Ce chapitre est le point de départ du calcul des probabilités en 4e ; il consolide le vocabulaire vu en 5e. EXPÉRIENCE ALÉATOIRE ET ISSUES. Une expérience est dite aléatoire lorsqu'on ne peut pas en prévoir le résultat avec certitude (lancer un dé, tirer une boule, pile ou face).

Les résultats possibles s'appellent les issues. Pour un dé à 6 faces, les issues sont 1, 2, 3, 4, 5, 6. ÉVÉNEMENT. Un événement est un ensemble d'issues qui nous intéresse : « obtenir un nombre pair » regroupe les issues 2, 4, 6 ; « faire 6 » ne contient que l'issue 6. Une issue qui réalise l'événement est dite favorable.

ÉQUIPROBABILITÉ ET CALCUL. Lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire, on est en situation d'équiprobabilité (dé équilibré, pièce équilibrée, tirage au hasard). La probabilité d'un événement se calcule alors par : P(événement) = nombre d'issues favorables ÷ nombre total d'issues.

Exemple : P(nombre pair) = 3/6 = 1/2 (issues favorables 2, 4, 6) ; P(faire 6) = 1/6 (une seule issue favorable). MÉTHODE EN TROIS ÉTAPES : (1) je liste et compte toutes les issues possibles ; (2) je compte les issues favorables ; (3) j'écris la fraction favorables/total, que je simplifie si possible. ENCADREMENT D'UNE PROBABILITÉ.

Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Un événement impossible a une probabilité de 0 (« obtenir 7 » avec un dé) ; un événement certain a une probabilité de 1 (« obtenir un nombre entre 1 et 6 »). À RETENIR : (1) issue = résultat possible, événement = ensemble d'issues ; (2) en équiprobabilité, P = favorables ÷ total ; (3) 0 ≤ P ≤ 1.

Les erreurs fréquentes

On calcule favorables ÷ favorables ou favorables ÷ (non favorables) au lieu de favorables ÷ total.

Le dénominateur est TOUJOURS le nombre total d'issues. Pour « nombre pair » avec un dé : 3 favorables ÷ 6 issues au total = 3/6 = 1/2, et non 3/3.

On donne une probabilité supérieure à 1 (par exemple 6/3) ou négative.

Une probabilité est toujours entre 0 et 1. Si le résultat dépasse 1, la fraction a été écrite à l'envers : c'est favorables ÷ total (≤ 1), pas total ÷ favorables.

Tu maîtrises la notion si…

• Distinguer expérience aléatoire, issue et événement, et lister les issues d'une expérience simple.
• Calculer une probabilité en équiprobabilité comme nombre d'issues favorables ÷ nombre total d'issues.
• Encadrer une probabilité entre 0 et 1 et reconnaître un événement impossible (0) ou certain (1).

Vérifie que tu as compris

1. On tire au hasard une lettre du mot « MATHS ». Quelle est la probabilité d'obtenir une voyelle ?

   Réponse 1/5

   Le mot MATHS compte 5 lettres, toutes différentes, donc 5 issues équiprobables. Une seule est une voyelle (le A) : P(voyelle) = 1/5. L'événement contraire, « obtenir une consonne », vaut 4/5, et une probabilité de 1 signifierait que l'événement est certain.

2. On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ?

   Réponse 2/6 = 1/3

   Les multiples de 3 entre 1 et 6 sont 3 et 6 : 2 issues favorables sur 6. P(multiple de 3) = 2/6 = 1/3.

3. Quelle valeur ne peut PAS être la probabilité d'un événement ?

   Réponse 1,2

   Une probabilité est toujours comprise entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain). 1,2 dépasse 1 : c'est impossible. En revanche 0, 0,75 et 1 sont des valeurs parfaitement acceptables.