Nombres premiers et décomposition

En une phrase

Un nombre premier, c'est un entier qui ne se laisse diviser que par 1 et par lui-même, pas par d'autres. Et tout nombre peut se fabriquer en multipliant des nombres premiers entre eux : c'est sa décomposition.

Comprendre

Un nombre premier est un entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même, et aucun autre. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… Deux pièges à retenir absolument : 1 n'est PAS premier (il n'a qu'un seul diviseur, lui-même, donc pas deux) ; et 2 est le seul nombre premier pair (tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2, donc ils ont au moins trois diviseurs : 1, 2 et eux-mêmes). Les nombres premiers sont comme les briques de base de tous les entiers : tout entier supérieur à 1 qui n'est pas premier peut s'écrire comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique (à l'ordre des facteurs près).

C'est sa décomposition en produit de facteurs premiers. Par exemple, 60 = 2 × 2 × 3 × 5, qu'on écrit 60 = 2² × 3 × 5. Pour décomposer, tu divises par le plus petit nombre premier possible, puis tu recommences avec le résultat : 60 ÷ 2 = 30, 30 ÷ 2 = 15, 15 ÷ 3 = 5, et 5 est premier, donc on s'arrête. Cette décomposition est très utile : elle sert à trouver tous les diviseurs d'un nombre et à simplifier les fractions.

Le cours

Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Les premiers d'entre eux sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… Deux cas particuliers sont essentiels. D'abord, 1 n'est pas un nombre premier : son seul diviseur est 1, il n'en a donc pas deux.

Ensuite, 2 est le seul nombre premier pair : tout autre nombre pair est divisible par 2 en plus de 1 et de lui-même, il a donc au moins trois diviseurs et n'est pas premier. Pour tester si un nombre est premier, on cherche s'il a un diviseur autre que 1 et lui-même (on essaie 2, 3, 5, 7… avec les critères de divisibilité) ; si on n'en trouve aucun, le nombre est premier. Les nombres premiers sont les briques élémentaires de l'arithmétique : tout entier supérieur à 1 se décompose de manière unique en un produit de facteurs premiers (l'ordre des facteurs n'a pas d'importance).

C'est le théorème fondamental de l'arithmétique. Pour décomposer un entier, on le divise successivement par les nombres premiers, du plus petit au plus grand, tant que c'est possible. Exemple avec 84 : 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, et 7 est premier ; donc 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7. Autre exemple : 60 = 2² × 3 × 5. La décomposition en facteurs premiers permet ensuite de lister tous les diviseurs d'un nombre, de simplifier les fractions et de comparer deux nombres.

Bien distinguer « premier » (deux diviseurs) de « impair » (non divisible par 2) : 9 est impair mais pas premier, car 9 = 3 × 3.

Les erreurs fréquentes

1 est un nombre premier puisqu'on ne peut le diviser que par 1 et par lui-même.

1 n'est PAS premier : un nombre premier doit avoir EXACTEMENT deux diviseurs distincts, or 1 et lui-même sont confondus, 1 n'a donc qu'un seul diviseur. Le plus petit nombre premier est 2.

Un nombre impair est forcément un nombre premier.

Faux : 9 est impair mais pas premier, car 9 = 3 × 3 (il a 1, 3 et 9 comme diviseurs). « Impair » veut dire non divisible par 2, « premier » veut dire avoir exactement deux diviseurs : ce n'est pas pareil.

Tu maîtrises la notion si…

• Définir un nombre premier comme un entier ayant exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
• Reconnaître que 1 n'est pas premier et que 2 est le seul nombre premier pair.
• Décomposer un entier en produit de facteurs premiers (par exemple 60 = 2² × 3 × 5).

Vérifie que tu as compris

1. Quel nombre est premier ?

   Réponse 17

   17 n'a que deux diviseurs : 1 et 17. (21 = 3×7, 27 = 3³, 9 = 3²).

2. La décomposition en produit de facteurs premiers de 60 est :

   Réponse 2² × 3 × 5

   60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5 (que des nombres premiers).

3. Pourquoi 1 n'est-il pas un nombre premier ?

   Réponse il n'a qu'un seul diviseur, lui-même

   Un nombre premier a EXACTEMENT deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Pour 1, ces deux diviseurs sont confondus, il n'en a donc qu'un seul : 1 n'est pas premier. Le plus petit nombre premier est 2, qui est aussi le seul nombre premier pair.