La division euclidienne

En une phrase

La division euclidienne, c'est la division avec un reste : tu partages un nombre (le dividende) par un autre (le diviseur), tu obtiens un quotient et un reste, et ce reste est toujours plus petit que le diviseur.

Comprendre

La division euclidienne, c'est la division de deux entiers qui s'arrête sans virgule, en laissant un reste. Elle met en jeu quatre nombres : le dividende (le nombre qu'on partage), le diviseur (par combien on partage), le quotient (combien de fois le diviseur tient dans le dividende) et le reste (ce qui n'a pas pu être partagé). Ils sont reliés par une seule égalité à retenir absolument : dividende = diviseur × quotient + reste.

Et il y a une condition essentielle sur le reste : il est toujours positif et strictement plus petit que le diviseur, ce qu'on écrit 0 ≤ reste < diviseur. Par exemple, pour 47 partagé par 6 : 6 tient 7 fois dans 47 (6 × 7 = 42) et il reste 5, donc 47 = 6 × 7 + 5, avec 0 ≤ 5 < 6. Le lien le plus important avec la divisibilité : le reste vaut 0 exactement quand le diviseur divise le dividende (la division tombe juste). Si le reste n'est pas nul, c'est que le diviseur ne divise pas le dividende.

Par exemple 48 = 6 × 8 + 0 : le reste est 0, donc 6 divise 48 ; alors que 47 = 6 × 7 + 5 a un reste non nul, donc 6 ne divise pas 47. Cette opération sert à répartir des quantités, à trouver des multiples et à vérifier une divisibilité.

Le cours

Effectuer la division euclidienne d'un entier a (le dividende) par un entier b non nul (le diviseur), c'est trouver deux entiers q (le quotient) et r (le reste) tels que : a = b × q + r, avec la condition 0 ≤ r < b. Autrement dit, on cherche combien de fois b tient dans a (c'est q), et ce qu'il reste ensuite (c'est r). La condition 0 ≤ r < b est capitale : le reste doit être positif ou nul et toujours strictement inférieur au diviseur.

Si on trouvait un reste supérieur ou égal au diviseur, c'est que le quotient n'a pas été poussé assez loin. Exemple : on divise 47 par 6. On cherche le plus grand multiple de 6 inférieur ou égal à 47 : c'est 42 = 6 × 7. Le quotient est donc 7 et le reste est 47 − 42 = 5. On écrit 47 = 6 × 7 + 5, et on vérifie bien que 0 ≤ 5 < 6. Le lien fondamental avec la divisibilité est le suivant : le reste de la division euclidienne de a par b est nul si, et seulement si, b divise a. En effet, si r = 0, alors a = b × q : a est un multiple de b, donc b est un diviseur de a.

Réciproquement, si b divise a, la division tombe juste et le reste est nul. Exemple : 48 = 6 × 8 + 0, le reste est nul, donc 6 divise 48 ; mais 50 = 6 × 8 + 2, le reste est 2 (non nul), donc 6 ne divise pas 50. La division euclidienne est ainsi le test de divisibilité par excellence, et elle est aussi à la base de la recherche de diviseurs communs et de la répartition en parts égales.

Les erreurs fréquentes

Le reste de la division euclidienne peut être plus grand que le diviseur.

Non : le reste est toujours strictement inférieur au diviseur (0 ≤ reste < diviseur). Si tu trouves un reste ≥ diviseur, c'est que ton quotient est trop petit : le diviseur peut encore tenir une fois de plus.

Dans 47 = 6 × 7 + 5, le quotient est 5 et le reste est 7.

C'est l'inverse : le quotient est 7 (le nombre de fois où 6 tient dans 47) et le reste est 5 (ce qui reste après). On vérifie que le reste 5 est bien plus petit que le diviseur 6.

Tu maîtrises la notion si…

• Nommer les quatre termes (dividende, diviseur, quotient, reste) et écrire l'égalité dividende = diviseur × quotient + reste.
• Vérifier la condition sur le reste : 0 ≤ reste < diviseur.
• Relier un reste nul à la divisibilité : le reste est 0 exactement quand le diviseur divise le dividende.

Vérifie que tu as compris

1. Dans la division euclidienne de 47 par 5, quel est le reste ?

   Réponse 2

   47 = 5 × 9 + 2. Le quotient est 9 et le reste 2 (le reste est toujours plus petit que le diviseur).

2. Dans la division euclidienne de 100 par 7, quel est le quotient ?

   Réponse 14

   100 = 7 × 14 + 2 : le quotient est 14 et le reste 2 (7 × 15 = 105 dépasserait 100).

3. Dans la division euclidienne de 83 par 6, on écrit 83 = 6 × 13 + 5. Que représente le nombre 13 ?

   Réponse le quotient

   On lit l'égalité dividende = diviseur × quotient + reste : 83 est le dividende, 6 le diviseur, 13 le quotient et 5 le reste. Vérification : 6 × 13 = 78, puis 78 + 5 = 83, et le reste 5 est bien plus petit que le diviseur 6.